Théorie

1. Propriétés élémentaires

Nouveaux nombres

L’équation n’a pas de solution dans l’ensemble des réels parce qu’il n’y a pas de réel dont le carré vaut -1. Il suffit d’imaginer que ce nombre existe… Ce nombre est un imaginaire noté . L’équation a alors pour solution . Et du fait que le carré de vaut -1, on peut déduire que

Forme algébrique

Un nombre complexe est tout de même plus élaboré que ce simple imaginaire i. On veut que , l’ensemble des nombres complexes, prolonge , l’ensemble des nombres réels. Tout réel doit donc être un complexe. On veut encore qu’en multipliant un complexe par un complexe, ce soit un complexe. Ainsi en multipliant le réel (qui est complexe) par l’imaginaire pur , on obtient le complexe . On veut enfin qu’en additionnant deux complexes, on obtienne un complexe. Ainsi en additionnant le réel (qui est complexe) au complexe , on obtient le complexe .

La forme générale d’un complexe est

étant la partie réelle de (notée ) et la partie imaginaire de (notée ), et tous deux réels.

Deux complexes sont égaux s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

Opérations

Considérons deux complexes , on définit assez naturellement l’addition et la multiplication:

Le neutre pour l’addition est . Le symétrique de pour l’addition est tout simplement

Le neutre pour la multiplication est . Pour obtenir le symétrique de pour la multiplication, c’est-à-dire l’inverse, il faut trouver le complexe tel que

Ou encore

C’est-à-dire que

Ce système de deux équations à deux inconnues a une solution unique si , ce qui est le cas pour tout complexe sauf pour . À cette condition, la solution du système est

Et

On montre sans difficultés que et sont des groupes commutatifs et que est un champ.

Forme trigonométrique

Dans un repère orthonormé du plan, on peut associer un point à tout couple de réels. Ainsi, au complexe , on peut associer le point de coordonnées (figure 1). On parle de plan de Gauss dans ce cas, d’axe réel pour l’axe des abscisses et d’axe imaginaire pour l’axe des ordonnées.

Figure 1

Si dans le plan de Gauss, on associe un point au complexe , on peut encore y associer le vecteur ayant l’origine des axes pour origine et pour extrémité (figure 2). Ce vecteur a une longueur et détermine un certain angle avec l’axe des abscisses.

Figure 2

On voit sans difficultés que

Inversement,

Et on peut écrire que

Il s’agit de la forme trigonométrique d’un complexe: est le module de , on le note également ; est l’argument de .

Conjugué

Le conjugué du complexe est le complexe . Dans le plan de Gauss, à un complexe et son conjugué correspondent des points qui sont symétriques par rapport à l’axe . On peut vérifier sans difficultés que

Si et sont deux complexes, on peut montrer que

Inégalité triangulaire

Dans le plan de Gauss, deux complexes et étant associés à des vecteurs de même origine, on peut considérer qu’ils déterminent un triangle. L’inégalité triangulaire peut donc se traduire sous forme de complexes et on a

Le module de la somme de deux complexes est plus petit que la somme des modules. Le module de la différence de deux complexes est plus grand que la différence des modules.

Produit et quotient

En utilisant les formules trigonométriques de et on démontre sans difficulté que si et , alors

Ce qui veut dire que pour multiplier deux complexes, on multiplie les modules et on additionne les arguments, tandis que pour en faire le quotient, on fait le quotient des modules et on soustrait les arguments.

2. Transformations planes

Translations

Soit un complexe associé au point du plan de Gauss. On considère la translation de vecteur où est l’origine du repère. Le point quelconque est envoyé par cette translation sur le point associé au complexe (figure 3) et

Figure 3

Homothéties et symétrie centrale

On considère l’homothétie de centre , l’origine des axes, et de rapport . Le point quelconque est envoyé par cette homothétie sur le point associé au complexe (figure 4) et

Figure 4

Rotations

Soit un complexe associé au point du plan de Gauss. On considère la rotation de centre , l’origine des axes, et d’angle . Le point quelconque est envoyé par cette rotation, sur le point associé au complexe et

Figure 5

3. Racines

Formule de Moivre

Démontrons par récurrence que pour naturel

Pour , c’est évident.

Si la propriété est vraie pour , alors

En distribuant le dernier membre de l’égalité, on a

En utilisant les formules trigonométriques de et , cela devient

La propriété est donc vraie pour .

Racine carrée par voie algébrique

Trouver algébriquement les racines carrées d’un nombre complexe ( et réels), c’est trouver les réels et qui satisfont l’équation

Ou encore

En élevant ces deux égalités au carré et en les additionnant membre à membre, on obtient successivement

En additionnant membre à membre les deux égalités précédentes, on a

On en déduit que

Il faut cependant rejeter le cas négatif.

Des équations (1) et (3), on tire les valeurs de x et y

Pour savoir quel signe choisir, on retourne à l”équation (2). Si est positif, les parties réelle et imaginaire des racines carrées doivent être de même signe et les racines carrées de sont

Si est négatif, les parties réelle et imaginaire des racines carrées doivent être de signes contraires et les racines carrées de sont

Racine -ièmes

Pour trouver les racines -ièmes ( naturel) d’un nombre complexe, il est plus simple de l’écrire sous forme trigonométrique. Ainsi, trouver les racines -ièmes du nombre complexe , c’est trouver les complexes tels que

Par la formule de Moivre, on a

Pour que deux complexes soient égaux, ils doivent avoir mêmes modules et mêmes arguments. Dès lors

Ce qui veut dire que

On constate que si on donne d’autres valeurs à que les valeurs 0,1, …,, on en revient à des racines déjà reprises. Un complexe (et un réel en particulier) a donc racines -ièmes complexes (dont certaines peuvent être réelles).

Sachant que toutes ces racines ont même module et des arguments en suite arithmétique de raison , elles forment un polygone régulier à côtés (quand ) dans le plan de Gauss. Ces racines forment également une suite géométrique de raison car

Au paragraphe précédent nous avons vu comment calculer les racines carrées à partir de la forme algébrique d’un complexe. Par ce que nous venons de voir pour les racines -ièmes, on peut aussi les calculer à partir de leur forme trigonométrique. Les deux racines carrées du complexe sont

4. Équations du second degré

À coefficients réels

Considérons tout d’abord une équation à coefficients réels

On sait que dans , elle a deux solutions distinctes quand le réalisant est strictement positif et une solution double quand est nul. Si est négatif, alors et l’équation a deux racines complexes

À coefficients complexes

Si l’équation du second degré est à coefficient complexes, on la résout de la même manière qu’une équation à coefficients réels et on obtient les solutions

où et sont les racines carrées du complexe .