3.4 Divergence de fonctions en un point
---------------------------------------

| Lorsqu’une fonction possède une limite en un point, on dit qu’elle
  *converge* en ce point. Que peut-il se passer lorsque qu’une fonction
  ne converge pas en un point, c’est-à-dire ne possède pas de limite en
  ce point ?
| Il y a de nombreuses possibilités, mais une de ces possibilités est
  particulièrement intéressante : la fonction peut diverger. Pour
  découvrir cette nouvelle notion, commençons avec un exemple.

**Exemple 3.4.1.** Considérons la fonction :

.. math::

   \begin{aligned}
       f : {{\mathbb{R}}_{0}}^{+} &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}
       \end{aligned}

dont voici le graphe :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[samples=50,domain=0.04:5](\x,{1/(sqrt(\x))});

Que se passe-t-il quand les :math:`x` se rapprochent de :math:`0` ? Les
:math:`f(x)` ne se rapprochent certainement pas d’un nombre réel ! Si on
teste avec certaines valeurs de :math:`x` qui se rapprochent de
:math:`0`, on constate immédiatement que les :math:`f(x)` deviennent de
plus en plus grands :

.. math:: f(\frac{1}{100})=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{100}}}= \frac{1}{\frac{1}{10}}=10

.. math:: f(\frac{1}{10000})=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{10000}}}= \frac{1}{\frac{1}{100}}=100

.. math:: f(\frac{1}{1000000})=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1000000}}}= \frac{1}{\frac{1}{1000}}=1000

|

On remarque même qu’à condition de se rapprocher suffisament de
:math:`0`, les valeurs de la fonction deviendront aussi grandes que l’on
veut. Autrement dit, on peut se donner n’importe quelle borne
supérieure, les valeurs :math:`f(x)` de cette fonction dépassent par le
haut cette borne supérieure de façon uniforme et définitive à condition
de choisir des :math:`x` suffisament proche de :math:`0`. Ce
comportement est appelé divergence (vers :math:`+\infty`) et nous venons
d’en donner la définition intuitive.

Donnons à présent la définition rigoureuse de divergence (vers
:math:`+\infty`).

|

**Définition 3.4.2.** Soit un intervalle :math:`I` éventuellement privé d’un point :math:`c`. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.

  On dit que :math:`f` *diverge* (vers :math:`+\infty`) en :math:`c` si
  pour toute borne supérieure :math:`M >0`, il existe :math:`\delta > 0`
  tel que pour tout :math:`x \in I \backslash \{c\}` qui est à une
  distance plus petite ou égale de :math:`c` que :math:`\delta`,
  c’est-à-dire tel que :math:`|x-c| \le \delta`, on a nécessairement que
  :math:`f(x)` est plus grand ou égal à :math:`M`, c’est-à-dire que
  :math:`f(x)\ge M`.
  Dans ce cas, on note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} f(x)=+\infty

**Remarque 3.4.3.** **Attention : cette remarque est extrêmement importante.**

  Lorsqu’une fonction diverge (vers :math:`+\infty`) en un point, **elle
  n’a pas de limite en ce point**. Diverger vers :math:`+\infty` **ne
  signifie pas** se rapprocher d’un nombre appelé :math:`+\infty`
  (:math:`+\infty` **n’est pas** un nombre réel). On utilise pourtant la
  même notation pour parler de limite et de divergence : cela est
  extrêmement malheureux et absolument pas pédagogique. Cette notation
  étant néanmoins utilisée par tous, nous l’utiliserons également.

| Insistons bien : :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x)=+\infty` **ne se
  lit pas** la fonction :math:`f` a comme limite/converge vers
  :math:`+\infty` en :math:`c` mais bien la fonction :math:`f` diverge
  vers :math:`+\infty` en :math:`c` . La convergence (avoir une limite)
  et la divergence sont deux notions complétement différentes.

|

**Exemple 3.4.4.** La fonction

.. math::

   \begin{aligned}
       f : {\mathbb{R}}_{0} &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto \frac{1}{x^2}
       \end{aligned}

dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-0.44721](\x,{1/(\x*\x)});
    \draw[thick] plot[domain=0.44721:5](\x,{1/(\x*\x)});

diverge vers :math:`+\infty` en :math:`0`. On note :
:math:`\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2}=+\infty`.

Il existe un autre phénomène possible lorsqu’une fonction ne converge
pas en un point, très semblable à la divergence vers :math:`+\infty` :
il s’agit de la divergence vers :math:`-\infty`. Pour l’introduire,
commençons avec un exemple.

|

**Exemple 3.4.5.** Considérons la fonction

.. math::

   \begin{aligned}
       f : \mathbb{R}\backslash \{1\} &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto \frac{-1}{|x-1|}
       \end{aligned}

dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:0.8](\x,{1/(abs(\x -1))});
    \draw[thick] plot[domain=1.2:5](\x,{1/(abs(\x -1))});
			

Que se passe-t-il quand les :math:`x` se rapprochent de :math:`1` ? À
nouveau, les :math:`f(x)` ne se rapprochent certainement pas d’un nombre
réel ! Si on teste avec certaines valeurs de :math:`x` qui se
rapprochent de :math:`1`, on constate immédiatement que les :math:`f(x)`
deviennent de plus en plus grands négativement :

.. math:: f(1+\frac{1}{100})=\frac{1}{\frac{1}{|100|}}= \frac{1}{\frac{1}{100}}=100

.. math:: f(1+\frac{1}{10000})=\frac{1}{\frac{1}{|10000|}}= \frac{1}{\frac{1}{10000}}=10000

.. math:: f(1+\frac{1}{1000000})=\frac{1}{\frac{1}{|1000000|}}= \frac{1}{\frac{1}{1000000}}=1000000

.. math:: f(1-\frac{1}{100})=\frac{1}{\frac{1}{|-100|}}= \frac{1}{\frac{1}{100}}=100

.. math:: f(1-\frac{1}{10000})=\frac{1}{\frac{1}{|-10000|}}= \frac{1}{\frac{1}{10000}}=10000

.. math:: f(1-\frac{1}{1000000})=\frac{1}{\frac{1}{|-1000000|}}= \frac{1}{\frac{1}{1000000}}=1000000

On remarque même qu’à condition de se rapprocher suffisament de
:math:`1`, les valeurs de la fonction deviendront aussi grandes
négativement que l’on veut. Autrement dit, on peut se donner n’importe
quelle borne inférieure, les valeurs :math:`f(x)` de cette fonction
dépassent par le bas cette borne supérieure de façon uniforme et
définitive à condition de choisir des :math:`x` suffisament proche de
:math:`1`. Ce comportement est appelé divergence (vers :math:`-\infty`)
et nous venons d’en donner la définition intuitive.

Donnons à présent la définition rigoureuse de divergence (vers
:math:`-\infty`).

|

**Définition 3.4.6.** Soit un intervalle :math:`I` éventuellement privé d’un point :math:`c`. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.

  On dit que :math:`f` *diverge* (vers :math:`-\infty`) en :math:`c` si
  pour toute borne supérieure :math:`M >0`, il existe :math:`\delta > 0`
  tel que pour tout :math:`x \in I \backslash \{c\}` qui est à une
  distance plus petite ou égale de :math:`c` que :math:`\delta`,
  c’est-à-dire tel que :math:`|x-c| \le \delta`, on a nécessairement que
  :math:`f(x)` est plus grand ou égal à :math:`M`, c’est-à-dire tel que
  :math:`f(x)\le M`.
  Dans ce cas, on note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} f(x)=-\infty

**Remarque 3.4.7.** Même remarque que pour la divergence vers :math:`+\infty` : diverger
vers :math:`-\infty` **ne signifie pas** avoir comme limite un nombre
appelé :math:`-\infty`.

|

**Exemple 3.4.8.** La fonction

.. math::

   \begin{aligned}
       f : ]2;+\infty[ &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto \frac{-1}{\sqrt{x-2}}
       \end{aligned}

dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-8) grid (8,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (9,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-8) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[samples=50,domain=2.01563:8](\x,{-1/(sqrt(\x - 2))});
			

diverge vers :math:`-\infty` en :math:`2`. On note :
:math:`\lim\limits_{x \to 2} \frac{-1}{\sqrt{x-2}}=-\infty`.


| Les trois notions de convergence (avoir une limite), divergence vers
  :math:`+\infty` et divergence
| vers :math:`-\infty` sont mutuellement exclusives. En effet :

-  | Si une fonction converge (a une limite) en un point, ses valeurs ne
     peuvent pas devenir arbitrairement grandes (que ce soit
     positivement ou négativement) puisque qu’elle se rapproche de la
     limite (qui est un nombre réel).

-  Si une fonction diverge vers :math:`+\infty` en un point, ses valeurs
   ne peuvent se rapprocher d’un nombre réel (puisque celles-ci
   deviennent de plus en plus grandes positivement au fur et à mesure
   qu’on se rapproche du point où la fonction diverge) et ne peuvent
   devenir arbitrairement grandes négativement (puisque celles-ci
   deviennent de plus en plus grandes **positivement** au fur et à
   mesure qu’on se rapproche du point où la fonction diverge).

-  Si une fonction diverge vers :math:`-\infty` en un point, ses valeurs
   ne peuvent se rapprocher d’un nombre réel (puisque celles-ci
   deviennent de plus en plus grandes négativement au fur et à mesure
   qu’on se rapproche du point où la fonction diverge) et ne peuvent
   devenir arbitrairement grandes négativement (puisque celles-ci
   deviennent de plus en plus grandes **négativement** au fur et à
   mesure qu’on se rapproche du point où la fonction diverge).

|  
| Pour résumer ces trois remarques, nous avons la proposition suivante :

|

**Proposition 3.4.9.** Soit un intervalle :math:`I` éventuellement privé d’un point :math:`c`. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.

-  Si :math:`f` possède une limite en :math:`c`, alors :math:`f` ne
   diverge pas vers :math:`+\infty` en :math:`c` et ne diverge pas vers
   :math:`-\infty` en :math:`c`.

-  Si :math:`f` diverge vers :math:`+\infty` en :math:`c`, alors
   :math:`f` ne possède pas une limite en :math:`c` et ne diverge pas
   vers :math:`-\infty` en :math:`c`.

-  Si :math:`f` diverge vers :math:`-\infty` en :math:`c`, alors
   :math:`f` ne possède pas une limite en :math:`c` et ne diverge pas
   vers :math:`+\infty` en :math:`c`.

|  
|  
|  
| Avant de nous lancer dans les exercices pour nous familiariser avec
  ces deux nouvelles notions de divergence vers :math:`+\infty` et de
  divergence vers :math:`-\infty`, donnons quelques exemples et
  contre-exemples supplémentaires.

|

**Contre-exemple 3.4.10.** Les seules fonctions de référence qui ne sont pas définies sur tout :math:`\mathbb{R}` sont la fonction racine carrée et la fonction
inverse. Nous savons déjà que la fonction racine carrée a comme limite
:math:`0` lorsque :math:`x` tend vers :math:`0`, mais qu’en est-il de
la fonction inverse ? Diverge-t-elle ?
Rappelons que la fonction inverse est la fonction :

.. math::

   \begin{aligned}
      f : {\mathbb{R}}_{0} &\to \mathbb{R}\\
      x &\mapsto \frac{1}{x}
      \end{aligned}

Son graphe est le suivant.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-0.2](\x,{1/(\x)});
    \draw[thick] plot[domain=0.2:5](\x,{1/(\x)});
			

Lorsque les :math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}` se rapprochent de :math:`0`,
les nombres :math:`\frac{1}{x}` ne se rapprochent certainement pas d’un
nombre de manière uniforme et définitive. Mais ils ne deviennent pas non
plus arbitrairement grands positivement de manière uniforme et
définitive (ils le deviennt à droite de :math:`0`, mais pas à gauche )
et ils ne deviennent pas non plus arbitrairement grands négativement de
manière uniforme et définitive (ils le deviennt à gauche de :math:`0`,
mais pas à droite ). En conclusion, la fonction inverse n’a pas de
limite en :math:`0`, mais ne diverge pas non plus en :math:`0` (que ce
soit vers :math:`+\infty` ou vers :math:`-\infty`).

**Remarque 3.4.11.** La fonction inverse ne diverge pas vers :math:`+\infty` ou vers
:math:`-\infty` en :math:`0`, mais par contre son produit avec elle-même
diverge vers :math:`+\infty` en :math:`0` : voir exemple
3.4.4.

|

**Exemple 3.4.12.** La fonction :math:`f : \mathbb{R}\backslash \{-1\} \to \mathbb{R}` dont
le graphe est le suivant :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-1.125](\x,{-3-1/(\x +1)});
    \draw[thick] plot[samples=50,domain=-0.993:5](\x,{-1*ln(\x+1)});
			

diverge vers :math:`+\infty` en :math:`-1`. On note :
:math:`\lim\limits_{x \to 0} f(x) = -\infty`.

**Exemple 3.4.13.** La fonction :math:`f : [0;+\infty[ \to \mathbb{R}` dont le graphe est le
suivant :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[samples=50,domain=0.007:5](\x,{ln(\x)});
		\draw (0,4)node{$\bullet$};
			

diverge vers :math:`-\infty` en :math:`0` (même si la fonction est
définie en :math:`0` de telle sorte que :math:`f(0)=4`). On note :
:math:`\lim\limits_{x \to 0} f(x) = -\infty`.

|

**Contre-exemple 3.4.14.** La fonction :math:`f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}` dont le graphe est le
suivant :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-1.125](\x,{-3-1/(\x +1)});
    \draw[thick] plot[samples=50,domain=-0.993:5](\x,{ln(\x+1)});
    \draw (-1,0)node{$\bullet$};
          

ne converge pas et ne diverge pas en :math:`-1`.

**Contre-exemple 3.4.15.** La fonction :math:`f : \mathbb{R}\backslash \{0\} \to \mathbb{R}` dont
le graphe est le suivant :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[samples=50,domain=0.007:5](\x,{ln(\x)});
        \draw (0,3.5)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:0](\x,{3.5});
			

ne converge pas et ne diverge pas en :math:`0`.

|

À présent, exerçons-nous un peu.

**Exercice 3.4.16.** À l’aide d’un graphique, déterminer si les fonctions divergent au point
considéré. Si oui, donner le type de divergence (vers :math:`+\infty` ou
vers :math:`-\infty`).

.. inginious:: limite2_1
.. inginious:: limite2_2
.. inginious:: limite2_3
.. inginious:: limite2_4

|

**Exercice 3.4.17.** Voici le graphe d'une fonction réelle :math:`f`. Déterminer l’ensemble
des points où elle diverge.

.. inginious:: limite14

|

**Exercice 3.4.18.** Tracer le graphe d’une fonction :math:`f` définie sur
:math:`\mathbb{R}\backslash \{-2;0\}` qui diverge vers :math:`-\infty`
en :math:`-2` et qui ne diverge et ne converge pas en :math:`0`.

**Solution.**

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[domain=-5:-2.3536](\x,{3-1/((\x+2)*(\x+2))});
      \draw[thick] plot[domain=-1.4453:-0.05](\x,{-1.75-1/((\x+2)*(\x+2))});
      \draw[thick, fill=white](0,-2)circle(0.15);
      \draw[thick] plot[domain=0.2:5](\x,{1/(\x)});

|

**Exercice 3.4.19.** Déterminer si les fonctions dont les graphes sont donnés ci-dessous divergent aux points indiqués.

.. hlist::
   :columns: 2

   * .. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-4,-4) grid (4,4);

      \draw[very thick,->] (-4,0) -- (5,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-4) -- (0,5) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[domain=0.046:5,samples=100,xshift=-28](\x,{-ln(\x)});

   * :math:`\lim\limits_{x\to 2}f(x)`

   * .. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-4,-4) grid (4,4);

      \draw[very thick,->] (-4,0) -- (5,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-4) -- (0,5) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[domain=-2.65:1,samples=100](\x,{0.3*(\x*\x-2*\x+1)-1});
      \draw[thick] plot[domain=0.3333:3.1,samples=100,xshift=25](\x,{1/\x});
      \draw [thick] (1,-1) node[circle,fill=white,draw=black,inner sep=0.4mm] {};

   * :math:`\lim\limits_{x\to 1}f(x)`

   * .. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-4,-4) grid (4,4);

      \draw[very thick,->] (-4,0) -- (5,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-4) -- (0,5) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[domain=-4:2,samples=100](\x,0.5*\x);
      \draw[thick] plot[domain=2:4,samples=100](\x,-1.5*\x + 5);
      \draw [thick] (2,1) node[circle,fill=white,draw=black,inner sep=0.4mm] {};
      \draw [thick] (2,2) node[circle,fill=white,draw=black,inner sep=0.4mm] {};
      \draw [thick] (2,-1) node[circle,fill=black,draw=black,inner sep=0.4mm] {};

   * :math:`\lim\limits_{x\to 0}f(x)`

   * .. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-4,-4) grid (4,4);

      \draw[very thick,->] (-4,0) -- (5,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-4) -- (0,5) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[domain=-4.135:-0.499,samples=100,xshift=4](\x,{-1/(\x*\x)+2});
      \draw[thick] plot[domain=0.577:4.27,samples=100,xshift=-8](\x,{-1/(\x*\x)+1});
      \draw [thick] (0,2) node[circle,fill=black,draw=black,inner sep=0.4mm] {};

   * :math:`\lim\limits_{x\to 0}f(x)`

   * .. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-4,-4) grid (4,4);

      \draw[very thick,->] (-4,0) -- (5,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-4) -- (0,5) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[domain=-4:1.75,samples=100](\x,{-1-1/(\x-2)});
      \draw[thick] plot[domain=2:4,samples=100](\x,2);
      \draw [thick] (2,2) node[circle,fill=white,draw=black,inner sep=0.4mm] {};
      \draw [thick] (2,1) node[circle,fill=black,draw=black,inner sep=0.4mm] {};

   * :math:`\lim\limits_{x\to 2}f(x)`

   * .. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-4,-4) grid (4,4);

      \draw[very thick,->] (-4,0) -- (5,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-4) -- (0,5) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[domain=-4.48:-0.48,samples=100,xshift=13](\x,{-1/\x-0.1});
      \draw[thick] plot[domain=0.48:4.48,samples=100,xshift=-13](\x,{-1/\x+2.1});
      \draw [thick] (0,2) node[circle,fill=black,draw=black,inner sep=0.4mm] {};
      \draw [thick] (0,0) node[circle,fill=white,draw=black,inner sep=0.4mm] {};

   * :math:`\lim\limits_{x\to 0}f(x)`

   * .. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-4,-4) grid (4,4);

      \draw[very thick,->] (-4,0) -- (5,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-4) -- (0,5) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[domain=-4:4,samples=100](\x,2);

   * :math:`\lim\limits_{x\to -\pi}f(x)`

   * .. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-4,-4) grid (4,4);

      \draw[very thick,->] (-4,0) -- (5,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-4) -- (0,5) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[domain=-4.135:-2.499,samples=100,xshift=4](\x,{-1/((\x+2)*(\x+2))+2});
      \draw[thick] plot[domain=2.577:4.27,samples=100,xshift=-8](\x,{-1+1/((\x-2)*(\x-2))+1});
      \draw [thick] (-2,2) node[circle,fill=black,draw=black,inner sep=0.4mm] {};
      \draw [thick] (2,-1) node[circle,fill=black,draw=black,inner sep=0.4mm] {};

   * :math:`\lim\limits_{x\to 2}f(x)`


 
**Solution.**

.. hlist::
   :columns: 2

   * :math:`\lim\limits_{x\to -1}f(x)=+\infty`

   * La fonction ne diverge pas en :math:`1`.

   * La fonction ne diverge pas en :math:`2`.

   * :math:`\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty`

   * La fonction ne diverge pas en :math:`2`.

   * La fonction ne diverge pas en :math:`0`.

   * La fonction ne diverge pas en :math:`-\pi`.

   * :math:`\lim\limits_{x\to 2}f(x)=+\infty`.

|

**Exercice 3.4.20** Tracer le graphe d’une fonction :math:`f` ayant les propriétés suivantes
:

.. hlist::
  :columns: 2

   * dom :math:`f=]-4,3]`

   * :math:`f` est continue partout sauf en :math:`-2` et :math:`3`.

   * :math:`\lim\limits_{x\to -4}f(x)=+\infty`

   * :math:`\lim\limits_{x\to 3}f(x)=-\infty`

**Solution.**

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-3.8:-2.05](\x,{1/(\x+4)});
    \draw[thick, fill=white](-2,0.5)circle(0.15);
    \draw (-2,1.609)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[domain=-1.95:2.9933](\x,{ln(-1*\x+3)});
    \draw (3,1)node{$\bullet$};
			
|

**Exercice 3.4.21** Tracer le graphe d’une fonction
:math:`f : ]-\infty;-3[ \cup ]-3;2[ \cup ]2;4] \to \mathbb{R}` qui est
continue partout sauf en :math:`-1` et :math:`0`, qui a comme limite
:math:`1` en :math:`-1` et comme limite :math:`\frac{1}{2}` en
:math:`4`, qui n’a pas de limite en :math:`0`, qui diverge vers
:math:`+\infty` en -3 et qui ne diverge pas en :math:`2`.

**Solution.**

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-3.4472](\x,{1/((\x+3)*(\x+3))});
    \draw[thick] plot[domain=-2.7777:-1.05](\x,{0.5+1/(\x+3)});
    \draw[thick, fill=white](-1,1)circle(0.15);
    \draw (-1,-1)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[domain=-0.95:-0.05](\x,{-1-2*\x});
    \draw (0,-1)node{$\bullet$};
    \draw[thick, fill=white](0,-3)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=0.05:1.95](\x,{\x-3});
    \draw[thick, fill=white](2,-1)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=2.2:4](\x,{1/(\x-2)});
			\draw (4,0.5)node{$\bullet$};
			
|

**Exercice 3.4.22** Déterminer si les fonctions convergent ou divergent au point considéré.
Si elles convergent, donner la limite. Si elles divergent, donner le
type de divergence (vers :math:`+\infty` ou vers :math:`-\infty`).

.. inginious:: limite3_1
.. inginious:: limite3_2
.. inginious:: limite3_3
.. inginious:: limite3_4
.. inginious:: limite3_5
.. inginious:: limite3_6
.. inginious:: limite3_7
.. inginious:: limite3_8