3.5 Limites à gauche et limites à droite
----------------------------------------

| Dans certains cas, il peut être intéressant d’étudier le comportement
  d’une fonction au fur et à mesure que l’on se rapproche d’un point où
  il est possible de parler de limite pour cette fonction mais en ne
  considérant que les points du graphe de la fonction dont les abscisses
  sont plus grandes ou plus petites que le point considéré.
| Donnons immédiatement un exemple.

**Exemple 3.5.1.** La fonction :math:`f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}` dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:0](\x,{1/(\x - 1)});
    \draw[thick] plot[domain=0:5](\x,{1/(\x + 1)});
    \draw (0,-1)node{$\bullet$};
    \draw[thick, fill=white](0,1)circle(0.15);
          

| n’a pas de limite en :math:`0`. Lorsque les abscisses se rapprochent
  de :math:`0`, les points du graphe de :math:`f` ne se rapprochent pas
  définitivement et uniformément d’une seule valeur.
|  
| Par contre, si nous ne considérons que les points du graphe dont les
  abscisses sont supérieures à :math:`0`, la fonction réduite
  :math:`f_{[0;+\infty[} : [0;+\infty[ \to \mathbb{R}` possède bien une
  limite en :math:`0` :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=0:5](\x,{1/(\x + 1)});
    \draw (0,-1)node{$\bullet$};
    \draw[thick, fill=white](0,1)circle(0.15);
			

On a : :math:`\lim\limits_{x \to 0} f_{[0;+\infty[} (x) = 1`. De même,
si nous ne considérons que les points du graphe dont les abscisses sont
inférieures à :math:`0`, la fonction réduite
:math:`f_{]-\infty;0]} : ]-\infty;0] \to \mathbb{R}` possède bien une
limite en :math:`0` :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:0](\x,{1/(\x - 1)});
    \draw (0,-1)node{$\bullet$};
			

| On a : :math:`\lim\limits_{x \to 0} f_{]-\infty;0]} (x) = -1`.
|  
| Une autre façon d’exprimer ce que nous venons de dire est d’utiliser
  les notions de limite à gauche et de limite à droite. Lorsqu’on
  affirme que :math:`\lim\limits_{x \to 0} f_{[0;+\infty[} (x) = 1`,
  cela signifie précisément que la fonction :math:`f` possède une limite
  à droite de 0 et que celle-ci vaut :math:`1`, ce qu’on note :

  .. math:: \lim\limits_{x \underset{>}{\to} 0} f = 1

  Lorsqu’on affirme que
  :math:`\lim\limits_{x \to 0} f_{]-\infty;0]} (x) = -1`, cela signifie
  précisément que la fonction :math:`f` possède une limite à gauche de 0
  et que celle-ci vaut :math:`-1`, ce qu’on note :

  .. math:: \lim\limits_{x \underset{<}{\to} 0} f = 1

Donnons à présent la définition générale de limite à droite et de limite
à gauche : il s’agit simplement d’utiliser la définition de limite et de
restriction de fonction.

|

**Définition 3.5.2.** Soit un intervalle :math:`I` éventuellement privé d’un point :math:`c`. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.

  On dit que :math:`f` a *une limite à droite* :math:`L \in \mathbb{R}`
  en :math:`c` si la fonction
  :math:`f_{[c;+\infty[} : I \cap [c;+\infty[ \to \mathbb{R}` a comme
  limite :math:`L` en :math:`c`. On note :

  .. math:: \lim\limits_{x \underset{>}{\to} c} f(x)=L

  On dit que :math:`f` a *une limite à gauche* :math:`L \in \mathbb{R}`
  en :math:`c` si la fonction
  :math:`f_{]-\infty;c]} : I \cap ]-\infty;c] \to \mathbb{R}` a comme
  limite :math:`L` en :math:`c`. On note :

  .. math:: \lim\limits_{x \underset{<}{\to} c} f(x)=L

**Remarque 3.5.3.** Certaines personnes préfèrent utiliser les notations
:math:`\lim\limits_{x \to c^{+}} f(x)` pour les limites à droite et
:math:`\lim\limits_{x \to c^{-}} f(x)` pour les limites à gauche. Je
vous déconseille d’utiliser ces notations.

Donnons quelques exemples et contre-exemples.

|

**Exemple 3.5.4.** La fonction :math:`f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}` dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:0.8](\x,{1/(\x - 1)});
    \draw[thick] plot[domain=1:5](\x,{1+1/(\x)});
    \draw (1,-1)node{$\bullet$};
    \draw[thick, fill=white](1,2)circle(0.15);
			

| a une limite à droite en :math:`1` qui vaut :math:`2` :
  :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} 1} f(x)=2`.
| Par contre, elle n’a pas de limite à gauche en :math:`1`.

**Exemple 3.5.5.** La fonction carrée :math:`f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}` dont le graphe
est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-2.236:2.236](\x,{\x * \x});
			

| a une limite à droite en :math:`-2` qui vaut :math:`4` :
  :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} -2} f(x)=4`.
| Par ailleurs, :math:`f` a aussi une limite à gauche en :math:`-2` qui
  vaut aussi :math:`4` :
  :math:`\lim\limits_{x \underset{<}{\to} -2} f(x)=4`.

|

**Contre-exemple 3.5.6.** La fonction inverse :math:`f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}` dont le graphe
est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-0.2](\x,{1/(\x)});
    \draw[thick] plot[domain=0.2:5](\x,{1/(\x)});
			

n’a pas de limite à droite en :math:`0` et n’a pas de limite à gauche en
:math:`0`.

|

Dans tous les exemples déjà rencontrés, remarquons que le seul où la
fonction admet une limite à droite et une limite à gauche au point
considéré et que ces deux limites sont égales correspond au cas où la
fonction admet une (véritable) limite en ce point, qui est d’ailleurs
égale à l’unique valeur de la limite à droite et de la limite à gauche.

Ce n’est pas un hasard : pour avoir une limite en un point :math:`c`,
une fonction :math:`f` doit se rapprocher de façon définitive et
uniforme d’une unique valeur, elle doit donc avoir une limite à gauche
en ce point et une limite à droite en ce point et celles-ci doivent être
identiques. L’inverse est vrai aussi : si une fonction :math:`f` a une
limite à gauche en un point :math:`c` et une limite à droite en
:math:`c` et que celles-ci sont égales, alors :math:`f` se rapprochent
bien définitivement et uniformément de cet unique nombre au fur et à
mesure qu’on se rapproche de :math:`c` ! Plus rigoureusement, on peut
démontrer :

**Proposition 3.5.7.** Soit un intervalle :math:`I` éventuellement privé d’un point :math:`c`. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.

  Alors :math:`f` possède une limite
  :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x)=L` en :math:`c` si et seulement si
  :math:`f` possède une limite à droite
  :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} c} f(x)` en :math:`c` et une
  limite à gauche :math:`\lim\limits_{x \underset{<}{\to} c} f(x)` en
  :math:`c` et que celles-ci sont égales :
  :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} c} f(x)=\lim\limits_{x \underset{<}{\to} c} f(x)`.

| Ce résultat est assez intuitif. Malheureusement, nous ne le
  démontrerons pas dans le cadre de ce cours.

**Remarque 3.5.8.** Certaines personnes aiment beaucoup les limites à droite et les
limites à gauche, à tel point qu’elles définissent celles-ci en
premier et les utilisent pour définir la notion de limite générale.

Pourtant, c’est bien la notion de limite qui est fondamentale, si
utile et qui permet de démontrer d’impressionnants résultats
mathématiques. De plus, les notions de limite à droite et limite à
gauche ne se généralisent pas lorsqu’on ne peut pas parler de droite
et de gauche tandis que la notion de limite plus gobale se généralise
dans de nombreux contextes.

Pour ces raisons, nous n’insisterons volontairement pas sur les
notions de limites à droite et de limite à gauche dans ce cours.

|

| Avant de nous familiariser un peu avec ces nouvelles notions que sont
  les limites à droite et les limites à gauche, découvrons l’équivalent
  de ces notions pour la divergence. Commençons avec un exemple.

**Exemple 3.5.9.** Considérons la fonction inverse
:math:`f : {\mathbb{R}}_{0}\to \mathbb{R}` dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-0.2](\x,{1/(\x)});
    \draw[thick] plot[domain=0.2:5](\x,{1/(\x)});
			

Comme nous l’avons vu dans la section précédente, cette fonction ne
diverge pas (que ce soit vers :math:`+\infty` ou :math:`-\infty` en
:math:`0`). Par contre, si nous ne considérons que les points de son
domaine qui sont plus grands ou égaux à :math:`0`, on obtient la
fonction :math:`f_{[0;+\infty[} : ]0;+\infty[ \to \mathbb{R}` dont le
graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=0.2:5](\x,{1/(\x)});
			

| Cette fonction diverge bien vers :math:`+\infty` en :math:`0` :
  :math:`\lim\limits_{x \to 0} f_{[0;+\infty[}(x)=+\infty`.
| De même, si nous ne considérons que les points du domaine de la
  fonction inverse qui sont plus petits ou égaux à :math:`0`, on obtient
  la fonction
  :math:`f_{]-\infty;0]} : ]-\infty;0[]-\infty;0[ \to \mathbb{R}` dont
  le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-0.2](\x,{1/(\x)});
			

| Cette fonction diverge bien vers :math:`+\infty` en :math:`0` :
  :math:`\lim\limits_{x \to 0} f_{[0;+\infty[}(x)=+\infty`.
|  
| Comme avec les limites à droite et les limites à gauche, on peut
  exprimer ce que nous venons de dire avec les notions de divergence à
  droite et divergence à gauche . Pour cette exemple, on peut dire que
  la fonction inverse :math:`f` diverge vers :math:`+\infty` à droite de
  :math:`0`, ce qu’on note
  :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} 0} f(x) = +\infty` et qu’elle
  diverge vers :math:`-\infty` à gauche de :math:`0`, ce qu’on note
  :math:`\lim\limits_{x \underset{<}{\to} 0} f(x) = -\infty`.

|  
| Pour donner la définition générale de divergence à droite et de
  divergence à gauche, il suffit de combiner les notions de divergence
  générale avec celle de restriction.

|

**Définition 3.5.10.** Soit un intervalle :math:`I` éventuellement privé d’un point :math:`c`. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.

  On dit que :math:`f` *diverge vers :math:`+\infty` à droite* en
  :math:`c` si la fonction
  :math:`f_{[c;+\infty[} : I \cap [c;+\infty[ \to \mathbb{R}` diverge
  vers :math:`+\infty` en :math:`c`. On note :

  .. math:: \lim\limits_{x \underset{>}{\to} c} f(x)=+\infty

  On dit que :math:`f` *diverge vers :math:`-\infty` à droite* en
  :math:`c` si la fonction
  :math:`f_{[c;+\infty[} : I \cap [c;+\infty[ \to \mathbb{R}` diverge
  vers :math:`-\infty` en :math:`c`. On note :

  .. math:: \lim\limits_{x \underset{>}{\to} c} f(x)=-\infty

  On dit que :math:`f` a *diverge vers :math:`+\infty` à gauche* en
  :math:`c` si la fonction
  :math:`f_{]-\infty;c]} : I \cap ]-\infty;c] \to \mathbb{R}` diverge
  vers :math:`+\infty` en :math:`c`. On note :

  .. math:: \lim\limits_{x \underset{<}{\to} c} f(x)=+\infty

  On dit que :math:`f` a *diverge vers :math:`-\infty` à gauche* en
  :math:`c` si la fonction
  :math:`f_{]-\infty;c]} : I \cap ]-\infty;c] \to \mathbb{R}` diverge
  vers :math:`-\infty` en :math:`c`. On note :

  .. math:: \lim\limits_{x \underset{<}{\to} c} f(x)=-\infty

  On a un résultat équivalent pour les divergence à gauche et à droite à
  celui qu’on avait pour les limites :

**Proposition 3.5.11.** Soit un intervalle :math:`I` éventuellement privé d’un point :math:`c`. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.

  Alors :math:`f` diverge vers :math:`+\infty` en :math:`c` si et
  seulement si :math:`f` diverge vers :math:`+\infty` à droite en
  :math:`c` et :math:`f` diverge vers :math:`+\infty` à gauche en
  :math:`c`.

  De plus, :math:`f` diverge vers :math:`-\infty` en :math:`c` si et
  seulement si :math:`f` diverge vers :math:`-\infty` à droite en
  :math:`c` et :math:`f` diverge vers :math:`-\infty` à gauche en
  :math:`c`.

| Une fois de plus, nous ne pourrons malheureusement pas démontrer cette
  proposition dans le cadre de ce cours.


|

| Avant de passer aux exercices, quelques exemples et contre-exemples.

**Exemple 3.5.12.** La fonction :math:`f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}` dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:1.55279](\x,{1/((\x-2)*(\x-2))});
    \draw[thick] plot[domain=2.44721:5](\x,{1/((\x-2)*(\x-2))});
			

diverge vers :math:`+\infty` à droite en :math:`2` et diverge vers
:math:`+\infty` à gauche en :math:`2`. Elle diverge vers :math:`+\infty`
en :math:`2`.

**Exemple 3.5.13.** La fonction :math:`f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}` dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:0.8](\x,{1/(\x - 1)});
    \draw[thick] plot[domain=1:5](\x,{1+1/(\x)});
    \draw (1,-1)node{$\bullet$};
    \draw[thick, fill=white](1,2)circle(0.15);
			

diverge vers :math:`-\infty` à gauche en :math:`1`. Elle ne diverge pas
à droite en :math:`1`.

**Exemple 3.5.14.** La fonction carrée :math:`f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}` dont le graphe
est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-2.236:2.236](\x,{\x * \x});
			

ne diverge ni à gauche ni à droite en :math:`-2`.

|

**Exercice 3.5.15.** Pour la fonction dont le graphe est ci-dessous, quels sont les points où
la fonction a une limite à gauche ou à droite mais n’a pas de limite ?
Quels sont les points où la fonction diverge à gauche ou à droite mais
ne diverge pas ? Pour tous ces points, donner les limites ou les
divergences à gauche ou à droite éventuelles.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-2.3536](\x,{3-1/((\x+2)*(\x+2))});
    \draw[thick] plot[domain=-1.4453:-0.05](\x,{-1.75-1/((\x+2)*(\x+2))});
    \draw[thick, fill=white](0,-2)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=0.2:5](\x,{1/(\x)});
			

**Solution.** Le seul point où la fonction n’a pas de limite ou ne diverge pas est
:math:`0`. La fonction a une limite à gauche en :math:`0` qui vaut
:math:`-2` et diverge vers :math:`+\infty` à droite en :math:`0`.

|

**Exercice 3.5.16.** Tracer le graphe d’une fonction :math:`f` ayant les propriétés suivantes
:

.. hlist::
   :columns: 2

   * dom :math:`f=[-2,2]`

   * :math:`f` est continue partout sauf en :math:`-1` et
   :math:`\frac{1}{2}`.

   * :math:`f(-1)=2`

   * :math:`\lim\limits_{x \underset{<}{\to} -1} f(x)` existe et est égale à
   :math:`2`.

   * :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} -1} f(x)` existe mais n’est pas
   égale à :math:`2`.

   * :math:`\lim\limits_{x \underset{<}{\to} \frac{1}{2}}f(x)=-\infty`

   * :math:`f(\frac{1}{2})=1`

   * :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} \frac{1}{2}}f(x)=+\infty`

**Solution.**

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw (-2,3)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[domain=-2:-1](\x,{-\x+1});
    \draw (-1,2)node{$\bullet$};
    \draw[thick, fill=white](-1,-1.6666)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=-1:0.25](\x,{-1+1/(\x-(1/2))});
    \draw (0.5,1)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[domain=0.66667:2](\x,{-1+1/(\x-(1/2))});
    \draw (2,-0.3333)node{$\bullet$};

|		

**Exemple 3.5.17.** Déterminer quelles sont les limites et les divergence à gauche et à droite.

.. inginious:: limite4_1
.. inginious:: limite4_2
.. inginious:: limite4_3
.. inginious:: limite4_4
.. inginious:: limite4_5

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**Exercice 3.5.18.** Tracer le graphe d’une fonction
:math:`f : ]-\infty;-3[ \cup ]-3;2[ \cup ]2;4] \to \mathbb{R}` qui est
continue partout sauf en :math:`-1` et :math:`0`, qui vaut :math:`1` en
:math:`-1`, :math:`4` en :math:`0` et :math:`-\frac{1}{2}` en :math:`4`,
qui a comme limite à gauche :math:`1` en :math:`-1` et comme limite à
droite :math:`-1` en :math:`1`, qui a comme limite à gauche :math:`-3`
en :math:`0` et qui diverge vers :math:`+\infty` à droite en :math:`0`,
qui diverge vers :math:`+\infty` à gauche en :math:`2` et qui diverge
vers :math:`-\infty` à droite en :math:`2`.

**Solution.**

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-3.4472](\x,{1/((\x+3)*(\x+3))});
    \draw[thick] plot[domain=-2.7777:-1.05](\x,{0.5+1/(\x+3)});
          \draw (-1,1)node{$\bullet$};
    \draw[thick, fill=white](-1,-1)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=-0.95:-0.05](\x,{-3-2*\x});
    \draw[thick, fill=white](0,-3)circle(0.15);
    \draw (0,4)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[domain=0.14278:1](\x,{-2+1/(\x)});
    \draw[thick] plot[domain=1:1.857](\x,{-2-1/(\x-2)});
    \draw[thick, fill=white](2,-1)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=2.2:4](\x,{-1/(\x-2)});
          \draw (4,-0.5)node{$\bullet$};

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**Exercice 3.5.19.** Déterminer si les fonctions convergent ou divergent à droite ou à gauche
au point considéré. Si elles convergent à droite ou à gauche, donner la
limite à droite ou à gauche. Si elles divergent à droite ou à gauche,
donner le type de divergence (vers :math:`+\infty` ou vers
:math:`-\infty`). N’hésitez pas à vous aider d’un graphe.

.. inginious:: limite5_1
.. inginious:: limite5_2
.. inginious:: limite5_3
.. inginious:: limite5_4
.. inginious:: limite5_5