3.8 Propriétés des limites de fonctions
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| Dans cette dernière section de ce long chapitre sur les limites, nous
  allons apprendre à calculer des limites de fonctions de façon
  efficace, sans avoir recours à des graphes ou des tableaux de nombres.
  Pour ce faire, nous allons réfléchir à la façon dont se combinent les
  limites. Nous allons voir que pour calculer une limite, une stratégie
  extrêmement puissante est de décomposer la fonction dont on veut
  calculer la limite en terme de fonctions plus simples pour lesquelles
  le calcul des limites est immédiat.
| Comme pour chacune des cinq dernières sections de ce chapitre,
  commençons avec un exemple.

|

**Exemple 3.8.1.** À ce stade, nous savons déjà que la fonction inverse converge
vers :math:`0` pour :math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x}=0

De même, nous savons que la fonction constante de constante :math:`2`
converge vers :math:`2` :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} 2=2

Question : à partir de ces deux informations, pouvons-nous affirmer
quelque chose au sujet du comportement asymptotique (pour :math:`x` qui
tend vers :math:`+\infty`) de la fonction obtenue en additionnant ces
deux premières fonctions :

.. math::

   \begin{aligned}
   f : \mathbb{R}\backslash \{0\} \to \mathbb{R}\\
   x \mapsto \frac{1}{x}+2\end{aligned}

Bien entendu, calculer directement la limite pour :math:`x` qui tend
vers :math:`+\infty` de cette fonction :math:`f` n’est pas difficile :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x}+2=2

Mais aurions-nous pu trouver ce résultat sans même réfléchir au
comportement asymptotique de la fonction :math:`f` ? Pour répondre à
cette question, rappelons ce que signifient les deux affirmations :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x}=0

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} 2=2

La première signifie que pour des nombres :math:`x` de plus en plus
grands, les nombres :math:`\frac{1}{x}` se rapprochent uniformément et
définitivement de :math:`0`. La deuxième signifie que pour des nombres
:math:`x` de plus en plus grands, les nombres :math:`2` se rapprochent
uniformément et définitivement de :math:`2`. On déduit directement de
ces deux informations que pour des nombres :math:`x` de plus en plus
grands, les nombres :math:`\frac{1}{x}+2` se rapprochent uniformément et
définitivement de :math:`0+2`. Autrement dit :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x}+2=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} + \lim\limits_{x \to +\infty} 2 = 0+2=2

La limite pour :math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` de la fonction
:math:`f` qui est définie comme la somme de la fonction inverse et de la
fonction constante de constante :math:`2` est égale à la somme des
limites pour :math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` de ces deux
fonctions. On a pu décomposer le calcul de la limite pour :math:`x` qui
tend vers :math:`+\infty` de la fonction :math:`f` en une somme de
limites plus simples à calculer.

|

| L’idée que nous avons mise en œuvre dans l’exemple
  3.8.1, c’est-à-dire calculer la limite d’une fonction
  en décomposant celle-ci, est extrêmement utile et générale et permet
  de calculer des limites efficacement sans avoir à construire sans
  cesse des tableaux de signes ou des graphes de fonctions. Cette idée
  se base sur les propriétés des limites que nous allons lister dans
  cette section qui explicitent la manière dont se combinent les limites
  (et les divergences).
| Il est **très important** de faire l’effort de comprendre cette idée
  pour être à même de l’appliquer. Je vous déconseille **vivement**
  d’apprendre par cœur toutes les propositions que nous allons donner
  dans cette section. Appliquer ces dernières mécaniquement sera non
  seulement pénible mais surtout difficile et peu enrichissant.
| Pour cette raison, nous allons essayer d’expliquer le plus en détail
  la toute première. Cette première proposition de cette section
  s’intéresse à ce qu’il se passe lorsqu’on additionne deux fonctions
  qui chacune ont une limite en un point :math:`c \in \mathbb{R}`.

|

**Proposition 3.8.2.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`.
  
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = L_1` et
  :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = L_2`.
  Alors la fonction :math:`(f+g) : I \to \mathbb{R}` a une limite en
  :math:`c` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f+g)(x) = L_1 + L_2

| Nous ne démontrerons malheureusement pas cette proposition et il en
  sera de même pour toutes les autres propositions de cette section.
  Néanmoins, essayons de la comprendre : elle exprime en fait un
  résultat assez intuitif.
| Pour partir d’une situation concrète : supposons que je suis dans un
  train et que je me rapproche peu à peu de l’arrière du train de sorte
  que j’arrive au bout à 9h00 précise. Supposons également que le train
  lui-même se rapproche de la gare de Louvain-la-Neuve de sorte qu’il
  arrivera à destination à 9h00 précise. Pour un observateur sur le
  quai, au fur et à mesure que l’aiguille de l’horloge se rapproche de
  9h00 pile, de quelle position me rapprocherai-je ? Puisque je me
  rapproche du bout arrière du train et que le train se rapproche du
  quai de la gare, je me rapproche de la position de laquelle se
  rapproche le bout arrière du train pour un observateur sur le quai.
  Les deux mouvements s’additionnent et il en va donc de même pour les
  positions dont ces deux mouvements se rapprochent.
| La proposition ci-dessus porte sur la même idée mais de manière
  abstraitre. Essayons de comprendre sa généralité avec un exemple
  formel. Supposons que je possède deux fonctions
  :math:`f : \mathbb{R}\backslash \{1\} \to \mathbb{R}` et
  :math:`g : \mathbb{R}\backslash \{1\} \to \mathbb{R}` dont les graphes
  sont les suivants :

.. hlist::
   :columns: 2

   * .. tikz:: 

         \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

         \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
         \draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

         \foreach \x in {1}
         \draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

         \foreach \y in {1}
         \draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[domain=-5:0.95](\x,{\x});
      \draw[thick] plot[domain=1.05:5](\x,{\x});
      \draw[thick, fill=white](1,1)circle(0.125);
            

   * .. tikz:: 

         \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

         \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
         \draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

         \foreach \x in {1}
         \draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

         \foreach \y in {1}
         \draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[thick] plot[samples=50,domain=-5:0.95](\x,{2+cos(90*\x)*(1/1.2)*(1.2)^\x});
      \draw[thick] plot[samples=50,domain=1.05:5](\x,{2+cos(90*\x)*(1/1.2)*(1.2)^\x});
      \draw[thick, fill=white](1,2)circle(0.125);
      \draw[thick] plot[domain=-5:0.95](\x,{\x});
      \draw[thick] plot[domain=1.05:5](\x,{\x});
      \draw[thick, fill=white](1,1)circle(0.125);
			

Ces deux fonctions ont toutes les deux une limite en :math:`1` :

.. math:: \lim\limits_{x \to 1} f(x) = 1

.. math:: \lim\limits_{x \to 1} g(x) = 2

|

Que se passe-t-il si nous nous créons une nouvelle fonction en
additionnant :math:`f` et :math:`g` :
:math:`h : \mathbb{R}\backslash \{1\} \to \mathbb{R}`.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[samples=50,domain=-5:0.95](\x,{\x+2+cos(90*\x)*(1/1.2)*(1.2)^\x});
    \draw[thick] plot[samples=50,domain=1.05:3](\x,{\x+2+cos(90*\x)*(1/1.2)*(1.2)^\x});
    \draw[thick, fill=white](1,3)circle(0.175);

|		

| La fonction :math:`h` a également une limite en :math:`1` et cette
  limite est la somme des limites en :math:`1` des fonctions :math:`f`
  et :math:`g` : :math:`1+2=3`.
| Logique : puisque la fonction :math:`f` se rapproche uniformément et
  définitivement de :math:`1` à l’approche de :math:`1` et que la
  fonction :math:`g` se rapproche uniformément et définitivement de
  :math:`2` à l’approche de :math:`1`, la fonction :math:`h` qui est la
  somme de ces deux fonctions se rapproche uniformément et
  définitivement de :math:`1+2=3` à l’approche de :math:`1`. Cette
  remarque n’est évidemment pas propre à notre exemple : il en aurait
  été de même pour d’autres fonctions :math:`f` et :math:`g`. C’est ce
  qui est exactement exprimé par la proposition
  3.8.2.
|  
| La proposition 3.8.2 permet de calculer des
  limites de façon efficace en décomposant la fonction dont on veut
  calculer la limite en fonctions plus simples dont elle est la somme.
  Donnons immédiatement un exemple d’application de cette proposition.

|

**Exemple 3.8.3.** Supposons que l’on souhaite déterminer si la fonction suivante possède
une limite en :math:`-1`.

.. math::

   \begin{aligned}
   f : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}\\
   x \mapsto \sqrt[3]{x}+\frac{x+1}{x}\end{aligned}

On remarque que la fonction :math:`f` est la somme des trois fonctions :

.. math::

   \begin{aligned}
   g : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\\
   x \mapsto \sqrt[3]{x}\end{aligned}

.. math::

   \begin{aligned}
   h : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\\
   x \mapsto 1\end{aligned}

.. math::

   \begin{aligned}
   h : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\\
   x \mapsto \frac{1}{x}\end{aligned}

De plus, on sait facilement calculer les limites en :math:`-1` de ces
trois fonctions :

.. math:: \lim\limits_{x \to -1} g(x) = -1

.. math:: \lim\limits_{x \to -1} h(x) = 1

.. math:: \lim\limits_{x \to -1} l(x) = -1

Par la proposition 3.8.2, :math:`f` a donc
nécessairement une limite en :math:`-1` et cette limite est égale à :

.. math:: \lim\limits_{x \to -1} f(x) = \lim\limits_{x \to -1} g(x)+\lim\limits_{x \to -1} h(x)+\lim\limits_{x \to -1} l(x)=-1

La proposition 3.8.2 décrit ce qu’il se passe
lorsqu’on additionne deux fonctions qui possèdent une limite en un
point. Il existe bien évidemment d’autres opérations sur les fonctions
et d’autres possibilités pour une fonction que d’avoir une limite en un
point (elle peut par exemple diverger). Dans les pages suivantes, nous
allons donner toutes les variantes possibles de la proposition
3.8.2. Insistons sur un point : **n’apprennez pas
toutes ces propositions par cœur !** Comprenez-les de sorte que vous
puissiez les retrouver par vous-mêmes.

|

**Proposition 3.8.4.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`.

  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = L_1` et
  :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = L_2`.
  Alors la fonction :math:`(f-g) : I \to \mathbb{R}` a une limite en
  :math:`c` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f-g)(x) = L_1 - L_2

**Proposition 3.8.5.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`.
 
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = L_1` et
  :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = L_2`.
  Alors la fonction :math:`(f.g) : I \to \mathbb{R}` a une limite en
  :math:`c` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f.g)(x) = L_1 . L_2

**Proposition 3.8.6.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point
  :math:`c`.
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  avec :math:`g(x) \neq 0` pour tout :math:`x \in I` telles que
  :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = L_1` et
  :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = L_2` avec :math:`L_2 \neq 0`.
  Alors la fonction :math:`\frac{f}{g} : I \to \mathbb{R}` a une limite
  en :math:`c` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} (\frac{f}{g})(x) = \frac{L_1}{L_2}

|

**Proposition 3.8.7.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c` et soit :math:`J` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`d`.

  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : J \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`g(J) \subseteq I`,
  :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = L` et
  :math:`\lim\limits_{x \to d} g(x) = c`.
  Alors la fonction :math:`(f \circ g) : J \to \mathbb{R}` a une limite
  en :math:`d` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to d} (f \circ g)(x) = L

Passons aux cas où la fonction :math:`g` diverge vers :math:`+\infty`.

**Proposition 3.8.8.**  Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`.
 
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = L_1` et
  :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = +\infty`.
  Alors la fonction :math:`(f+g) : I \to \mathbb{R}` diverge en
  :math:`c` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f+g)(x) = +\infty

**Proposition 3.8.9.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`.
 
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = L_1` et
  :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = +\infty`.
  Alors la fonction :math:`(f-g) : I \to \mathbb{R}` diverge en
  :math:`c` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f-g)(x) = -\infty

|

**Proposition 3.8.10.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`.
 
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = L_1` avec
  :math:`L_1 \neq 0` et :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = +\infty`.
  Alors la fonction :math:`(f.g) : I \to \mathbb{R}` diverge en
  :math:`c` et on a :

-  Si :math:`L_1 >0` :

   .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f.g)(x) = \infty

-  Si :math:`L_1 <0` :

   .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f.g)(x) = -\infty

**Proposition 3.8.11.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`.
  
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  avec :math:`g(x) \neq 0` pour tout :math:`x \in I` telles que
  :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = L_1` et
  :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = +\infty`.
  Alors la fonction :math:`\frac{f}{g} : I \to \mathbb{R}` a une limite
  en :math:`c` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} (\frac{f}{g})(x) = 0

**Proposition 3.8.12.** Soit :math:`I` un intervalle non majoré et soit :math:`J` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`d`.

  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : J \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`g(J) \subseteq I`,
  :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = L` et
  :math:`\lim\limits_{x \to d} g(x) = +\infty`.
  Alors la fonction :math:`(f \circ g) : J \to \mathbb{R}` a une limite
  en :math:`d` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to d} (f \circ g)(x) = L

|

Les cas où la fonction :math:`g` diverge vers :math:`-\infty` sont très
similaires aux cinq précédents et nous ne les listerons pas ici. Passons
aux cas où la fonction :math:`f` diverge vers :math:`+\infty` mais où la
fonction :math:`g` converge.

**Proposition 3.8.13.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`.

  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = +\infty` et
  :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = L_2`.
  Alors la fonction :math:`(f+g) : I \to \mathbb{R}` diverge en
  :math:`c` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f+g)(x) = +\infty

**Proposition 3.8.14.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`.
 
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = +\infty` et
  :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = L_2`.
  Alors la fonction :math:`(f-g) : I \to \mathbb{R}` diverge en
  :math:`c` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f-g)(x) = +\infty

**Proposition 3.8.15.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`.
 
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = +\infty` avec
  :math:`L_1 \neq 0` et :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = L_2`.
  Alors la fonction :math:`(f.g) : I \to \mathbb{R}` diverge en
  :math:`c` et on a :

-  Si :math:`L_2 >0` :

   .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f.g)(x) = \infty

-  Si :math:`L_2 <0` :

   .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f.g)(x) = -\infty

|

**Proposition 3.8.16.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`.
 
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  avec :math:`g(x) \neq 0` pour tout :math:`x \in I` telles que
  :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = +\infty` et
  :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = L_2`.
  Alors la fonction :math:`\frac{f}{g} : I \to \mathbb{R}` diverge en
  :math:`c` et on a :

-  Si :math:`L_2 >0` :

   .. math:: \lim\limits_{x \to c} (\frac{f}{g})(x) = +\infty

-  Si :math:`L_2 <0` :

   .. math:: \lim\limits_{x \to c} (\frac{f}{g})(x) = -\infty

**Proposition 3.8.17.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point :math:`c`
et soit :math:`J` un intervalle éventuellement privé d’un point
:math:`d`.

  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : J \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`g(J) \subseteq I`,
  :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty` et
  :math:`\lim\limits_{x \to d} g(x) = c`.
  Alors la fonction :math:`(f \circ g) : J \to \mathbb{R}` diverge en
  :math:`d` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to d} (f \circ g)(x) = +\infty

À nouveau, les cas où la fonction :math:`f` diverge vers :math:`-\infty`
sont très similaires aux cinq précédents et nous ne les listerons pas
ici. Passons aux cas où la fonction :math:`f` diverge vers
:math:`+\infty` et où la fonction :math:`g` diverge vers
:math:`+\infty`.

**Proposition 3.8.18.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point
:math:`c`.
 
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = +\infty` et
  :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = +\infty`.
  Alors la fonction :math:`(f+g) : I \to \mathbb{R}` diverge en
  :math:`c` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f+g)(x) = +\infty

|

**Proposition 3.8.19.**  Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point
:math:`c`.

  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = +\infty` avec
  :math:`L_1 \neq 0` et :math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = +\infty`.
  Alors la fonction :math:`(f.g) : I \to \mathbb{R}` diverge en
  :math:`c` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} (f.g)(x) = \infty

**Proposition 3.8.20.** Soit :math:`I` un intervalle non majoré et soit :math:`J` un
intervalle éventuellement privé d’un point :math:`d`.
 
  Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : J \to \mathbb{R}`
  telles que :math:`g(J) \subseteq I`,
  :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty` et
  :math:`\lim\limits_{x \to d} g(x) = +\infty`.
  Alors la fonction :math:`(f \circ g) : J \to \mathbb{R}` diverge en
  :math:`d` et on a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to d} (f \circ g)(x) = +\infty

Les cas où la fonction :math:`f` ou la fonction :math:`g` diverge vers
:math:`-\infty` plutôt que vers :math:`+\infty` sont très similaires aux
cinq derniers et nous ne les listerons pas ici. Tous les cas où on ne
considère pas une limite ou une divergence en un point mais pour
:math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` ou vers :math:`-\infty` sont
semblables à ceux que nous avons déjà listés, nous ne les listerons donc
pas ici.

|

**Remarque 3.8.21.** Il peut sembler que certaines propositions sont manquantes. Par
exemples, *quid* de la différence de deux fonctions qui divergent vers
:math:`+\infty` en un point :math:`c` ?
Une personne peu rigoureuse pourrait écrire que :

.. math:: \lim\limits_{x \to c} (f - g)(x) = \lim\limits_{x \to c} f(x) - \lim\limits_{x \to d} g(x)=\infty-\infty=0

Outre le fait que cela n’a aucun sens, cela est absolument faux ! Je
vous **interdis** de noter de telles horreurs dans le cadre de ce
cours.

Ce type de situation est appelé par certaines personnes
indétermination . Une indétermination est en fait une situation où on
ne peut pas simplement appliquer une des propositions listées
ci-dessus pour décomposer une limite ou une divergence que l’on
cherche à calculer. Il faut dans ces cas-là ruser, simplifier
l’expression de la fonction considérée ou même être imaginatif !
Toutes sortes de choses peuvent arriver !

Illustrons cette dernière affirmation. Commençons par donner un
exemple de deux fonctions qui divergent vers :math:`+\infty` en un
point mais dont la différence ne converge pas vers :math:`0`, elle
diverge vers :math:`-\infty`. 
   
  Considérons les deux fonctions :

  .. math::

     \begin{aligned}
     f : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}\\
     x \mapsto \frac{1}{x^2}\end{aligned}

  .. math::

     \begin{aligned}
     g : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}\\
     x \mapsto \frac{1}{x^4}\end{aligned}

  On a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} =+\infty

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^4} =+\infty

  Pour tout :math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}`, on a :

  .. math:: (f-g)(x) = \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^4}=\frac{x^2}{x^4}-\frac{1}{x^4}=\frac{x^2-1}{x^4}

  La fonction :math:`(f-g) : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}` peut être
  vue comme le produit des deux fonctions :

  .. math::

     \begin{aligned}
     h : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}\\
     x \mapsto x^2-1\end{aligned}

  .. math::

     \begin{aligned}
     l : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}\\
     x \mapsto \frac{1}{x^4}\end{aligned}

  On a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} x^2-1 =-1

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^4} =+\infty

  Par la proposition 3.8.10, on en déduit que :

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} (f-g) (x) =-\infty

  À présent, donnons un exemple de deux fonctions qui divergent vers
  :math:`+\infty` en un point mais dont la différence diverge vers
  :math:`+\infty`. Considérons les deux fonctions :

  .. math::

     \begin{aligned}
     f : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}\\
     x \mapsto \frac{1}{x^4}\end{aligned}

  .. math::

     \begin{aligned}
     g : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}\\
     x \mapsto \frac{1}{x^2}\end{aligned}

  On a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^4} =+\infty

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} =+\infty

  Pour tout :math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}`, on a :

  .. math:: (f-g)(x) = \frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^4}-\frac{x^2}{x^4}=\frac{1-x^2}{x^4}

  La fonction :math:`(f-g) : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}` peut être
  vue comme le produit des deux fonctions :

  .. math::

     \begin{aligned}
     h : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}\\
     x \mapsto 1-x^2\end{aligned}

  .. math::

     \begin{aligned}
     l : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}\\
     x \mapsto \frac{1}{x^4}\end{aligned}

  On a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} 1-x^2 =1

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^4} =+\infty

  Par la proposition 3.8.10, on en déduit que :

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} (f-g) (x) =+\infty

  Enfin, la différence de deux fonctions qui divergent vers
  :math:`+\infty` en un point peut malgré tout parfois converger (vers
  :math:`0` ou un autre nombre). Considérons par exemple les deux
  fonctions :

  .. math::

     \begin{aligned}
     f : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}\\
     x \mapsto \frac{x^2+x^4}{x^4}\end{aligned}

  .. math::

     \begin{aligned}
     g : {\mathbb{R}}_{0} \to \mathbb{R}\\
     x \mapsto \frac{1}{x^2}\end{aligned}

  On a :

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2+x^4}{x^4} =+\infty

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} =+\infty

  Pour tout :math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}`, on a :

  .. math:: (f-g)(x) = \frac{x^2+x^4}{x^4}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2+x^4}{x^4}-\frac{x^2}{x^4}=\frac{x^4}{x^4}=1

  On en déduit :

  .. math:: \lim\limits_{x \to 0} (f-g) (x) =\lim\limits_{x \to 0} 1=1

  Comme on peut le voir avec ces trois exemples, lorsqu’on est face à
  une indétermination, il n’y a pas d’autre choix que de se mettre à
  réfléchir. Il n’y a pas de loi générale.


| Avant de passer aux exercices, donnons une règle de calcul que
  certains apprécient énormément : la règle des plus grands exposants.
  Elle permet de calculer facilement une limite pour :math:`x` qui tend
  vers :math:`+\infty` (ou vers :math:`-\infty`) dans le cas d’une
  fonction rationnelle (quotient de deux polynômes).

|

**Théorème 3.8.22.** (Théorème de la règle des plus hautes puissances)

| Soit :math:`I` un intervalle non majoré.
| Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}`
  avec :math:`g(x) \neq 0` pour tout :math:`x \in I` telles que pour
  tout :math:`x \in I` :

  .. math:: f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

  .. math:: f(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_2 x^2 + b_1 x + b_0

  pour un certain :math:`n \in \mathbb{N}`, un certain
  :math:`m \in \mathbb{N}` et
  :math:`a_n , a_{n-1} , ... , a_2 , a_1 , a_0 \in \mathbb{R}` avec
  :math:`a_n \neq 0` et
  :math:`b_m , b_{m-1} , ... , b_2 , b_1 , b_0 \in \mathbb{R}` avec
  :math:`b_m \neq 0`. Alors :

  -  Si :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m} = +\infty`,
      on a :

      .. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = +\infty

  -  Si :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m} = -\infty`,
      on a :

      .. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = -\infty

  -  Si :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m} = L`
      pour un certain :math:`L \in \mathbb{R}`, on a :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L

*Démonstration* Pour tout :math:`x \in I` avec :math:`x \neq 0`, on a :

.. math:: \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_2 x^2 + b_1 x + b_0} = \frac{a_n x^n}{b_m x^m} \frac{1 + \frac{a_{n-1} x^{n-1}}{a_n x^n} + ... + \frac{a_2 x^2}{a_n x^n} + \frac{a_1 x}{a_n x^n} + \frac{a_0}{a_n x^n}}{1 + \frac{b_{m-1} x^{m-1}}{b_m x^m} + ... + \frac{b_2 x^2}{b_m x^m} + \frac{b_1 x}{b_m x^m} + \frac{b_0}{b_m x^m}}

Par les propriétés des limites, on a :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \frac{a_{n-1}}{a_n x^n} x^{n-1} + ... + \frac{a_2 x^2}{a_n x^n} + \frac{a_1 x}{a_n x^n} + \frac{a_0}{a_n x^n} ={}

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a_{n-1}}{a_n x} + ... + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a_2}{a_n x^{n-2}} + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a_1}{a_n x^{n-1}} + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a_0}{a_n x^n} = 1+0+...+0+0+0=1

De même :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \frac{b_{m-1}}{b_n x^m} x^{m-1} + ... + \frac{b_2 x^2}{b_m x^m} + \frac{b_1 x}{b_m x^m} + \frac{b_0}{b_m x^m} ={}

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{b_{m-1}}{b_m x} + ... + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{b_2}{b_m x^{m-2}} + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{b_1}{b_m x^{m-1}} + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{b_0}{b_m x^m} = 1+0+...+0+0+0=1

Par les propriétés des limites, on a donc :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1 + \frac{a_{n-1} x^{n-1}}{a_n x^n} + ... + \frac{a_2 x^2}{a_n x^n} + \frac{a_1 x}{a_n x^n} + \frac{a_0}{a_n x^n}}{1 + \frac{b_{m-1} x^{m-1}}{b_m x^m} + ... + \frac{b_2 x^2}{b_m x^m} + \frac{b_1 x}{b_m x^m} + \frac{b_0}{b_m x^m}} = \frac{1}{1}=1

Dès lors :

-  Si
   :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m} = +\infty`,
   par les propriétés des limites et des divergences, on a :

   .. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = +\infty

-  Si
   :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m} = -\infty`,
   par les propriétés des limites et des divergences, on a :

   .. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = -\infty

-  Si :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m} = L`
   pour un certain :math:`L \in \mathbb{R}`, par les propriétés des
   limites, on a :

   .. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L.1=L

|

**Remarque 3.8.23.** Le théorème est également valable lorsqu’on considère une limite pour
:math:`x` qui tend vers :math:`-\infty`.

**Exemple 3.8.24.** On souhaite déterminer la limite suivante :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty}  \frac{1-x^2-x^3}{3x^3+2x+7}

Le théorème de la règle des plus hautes puissances nous dit que si la
limite ci-dessous existe, alors la limite que nous recherchons existe
aussi et est égale à celle-ci :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty}  \frac{-x^3}{3x^3}

Or :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty}  \frac{-x^3}{3x^3} = \lim\limits_{x \to +\infty}  \frac{-1}{3}=\frac{-1}{3}

Conclusion, par le théorème de la règle des plus hautes puissances, on
déduit que :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty}  \frac{1-x^2-x^3}{3x^3+2x+7}=\frac{-1}{3}

|  

| Et maintenant, des exercices. Beaucoup d’exercices !

**Exercice 3.8.25.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point
:math:`c`. Soient :math:`f : I \to \mathbb{R}` et
:math:`g : I \to \mathbb{R}` telles que
:math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = +\infty` et
:math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = -\infty`.

Que peut-on dire au sujet du comportement de la fonction
:math:`(f.g) : I \to \mathbb{R}` au voisinage de :math:`c` ?
Converge-t-elle ? Diverge-t-elle ? Expliquer.

**Solution.** Puisque :math:`\lim\limits_{x \to c} f(x) = +\infty`, pour des nombres
:math:`x` de plus en plus proches de :math:`c`, les nombres :math:`f(x)`
deviennent uniformément et définitivement arbitrairement grands. Puisque
:math:`\lim\limits_{x \to c} g(x) = -\infty`, pour des nombres :math:`x`
de plus en plus proches de :math:`c`, les nombres :math:`g(x)`
deviennent uniformément et définitivement arbitrairement petits. Dès
lors, pour des nombres :math:`x` de plus en plus proches de :math:`c`,
les nombres :math:`f(x).g(x)` deviennent uniformément et définitivement
arbitrairement petits (le produit de nombres de plus en plus grands par
des nombres petits est de plus en plus petit).

|

**Exercice 3.8.26.** Soit :math:`I` un intervalle non minoré. Soient
:math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}` avec
:math:`g(x) \neq 0` pour tout :math:`x \in I` telles que
:math:`\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = L` pour un certain
:math:`L \in \mathbb{R}` et
:math:`\lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = -\infty`.

Que peut-on dire au sujet du comportement de la fonction
:math:`(\frac{f}{g}) : I \to \mathbb{R}` pour :math:`x` qui tend vers
:math:`- \infty` ? Converge-t-elle ? Diverge-t-elle ? Expliquer.

**Solution.** Puisque :math:`\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = L`, pour des nombres
:math:`x` de plus en plus petits, les nombres :math:`f(x)` se
rapprochent uniformément et définitivement de :math:`L`. Puisque
:math:`\lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = -\infty`, pour des nombres
:math:`x` de plus en plus petits, les nombres :math:`g(x)` deviennent
uniformément et définitivement arbitrairement petits. Dès lors, pour des
nombres :math:`x` de plus en plus petits, les nombres
:math:`\frac{f(x)}{g(x)}` se rapprochent uniformément et définitivement
de :math:`0` (le quotient de nombres de plus en plus proche d’un nombre
:math:`L` divisés par des nombres de plus en plus petits est de plus en
plus proche de :math:`0`).

|

**Exercice 3.8.27.** Soit :math:`I` un intervalle non majoré. Soient
:math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}` avec
:math:`g(x) \neq 0` pour tout :math:`x \in I` telles que
:math:`\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty` et
:math:`\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = \infty`.

Que peut-on dire au sujet du comportement de la fonction
:math:`(f-g) : I \to \mathbb{R}` pour :math:`x` qui tend vers
:math:`+\infty` ? Converge-t-elle ? Diverge-t-elle ? Expliquer.

**Solution.** Puisque :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty`, pour des
nombres :math:`x` de plus en plus grands, les nombres :math:`f(x)`
deviennent uniformément et définitivement arbitrairement petits. Puisque
:math:`\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = \infty`, pour des nombres
:math:`x` de plus en plus grands, les nombres :math:`g(x)` deviennent
uniformément et définitivement arbitrairement grands. Dès lors, pour des
nombres :math:`x` de plus en plus petits, les nombres :math:`f(x)-g(x)`
deviennent uniformément et définitivement arbitrairement petits (des
nombres de plus en plus petits auquels on enlève des nombres de plus en
plus grands donnent de plus en plus petits).

|

**Exercice 3.8.28.** En utilisant les propriétés des limites et des divergences, déterminer
les limites ou les divergences suivantes.

.. inginious:: limite9_1
.. inginious:: limite9_2
.. inginious:: limite9_3
.. inginious:: limite9_4
.. inginious:: limite9_5
.. inginious:: limite9_6
.. inginious:: limite9_7
.. inginious:: limite9_8
.. inginious:: limite9_9
.. inginious:: limite9_10

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