3.6 Limites et divergence de fonctions en et

Jusqu’à présent, nous avons toujours parlé de limite ou de divergence d’une fonction en un point . Mais l’idée de limite (et de divergence) peut également être déclinée pour parler du comportement asymptotique d’une fonction, c’est-à-dire du comportement des nombres pour des valeurs de l’argument qui deviennt de plus en plus grandes ou de plus en plus petites (grandes négativement).

En fait, si nous avions introduit les limites et les divergences à l’aide des suites et non des fonctions continues, nous aurions commencé par ce type de limite et de divergence. L’idée fondamentale est la même que pour la limite d’une fonction en un point et est au moins aussi importante et utile.

Une fois de plus, introduisons nos nouveaux concepts avec un exemple.

Exemple 3.6.1. Nous souhaiterions pouvoir parler du comportement asymptotique de la fonction inverse, dont le graphe est pour rappel le suivant.

Nous aimerions savoir ce que deviennent les nombres au fur et à mesure que nous considérons des de plus en plus grands. Voyons d’abord ce que vaut pour certaines valeurs de particulières qui sont de plus en plus grandes :

Plus généralement, si nous divisons par des nombres positifs arbitrairement grands, le résultat sera un nombre positif arbitrairement proche de . Au fur à mesure que les abscisses des points du graphes grandissent, les ordonnées associées se rapprochent uniformément et définitivement de . Nous retrouvons l’idée de limite : la nouveauté étant que nous observons le comportement de la fonction non pas à l’approche d’un point, mais son comportement pour des nombres de plus en plus grands.

Pour cet exemple, on dit que la fonction inverse a pour limite quand tend vers . On note :

Nous pouvons également étudier le comportement de la fonction inverse pour des nombres de plus en plus petits ! Commençons avec des valeurs particulières pour qui sont de plus en plus petites :

Plus généralement, si nous divisons par des nombres négatifs arbitrairement petits, le résultat sera un nombre négatif arbitrairement proche de . Au fur à mesure que les abscisses des points du graphes diminuent, les ordonnées associées se rapprochent uniformément et définitivement de . Nous retrouvons une fois de plus l’idée de limite : la nouveauté étant que nous observons le comportement de la fonction non pas à l’approche d’un point, mais son comportement pour des nombres de plus en plus petits.

Pour cet exemple, on dit que la fonction inverse a pour limite quand tend vers . On note :

Remarque 3.6.2. Il se trouve que la fonction inverse a la même limite pour tendant vers et pour tendant vers . Ce n’est bien évidemment pas toujours le cas. Par exemple, la fonction dont le graphe est ci-dessous a comme limite pour tendant vers et pour tendant vers .

Donnons les définitions de limite d’une fonction pour qui tend vers ou vers . Celle-ci est très similaire à la définition de limite d’une fonction en un point et est construite de la même manière.

Définition 3.6.3. Soit un intervalle non majoré. Soit .

On dit que a une limite pour qui tend vers si pour toute marge d’erreur , il existe tel que pour tout qui est plus grand ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Définition 3.6.4. Soit un intervalle non minoré. Soit .

On dit que a une limite pour qui tend vers si pour toute marge d’erreur , il existe tel que pour tout qui est plus petit ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Donnons quelques exemples et contre-exemples.

Exemple 3.6.5. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous a comme limite pour qui tend vers .

Pour cette fonction, il ne fait pas sens de parler d’une éventuelle limite pour qui tend vers puisque son domaine de définition est .

Exemple 3.6.6. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous a comme limite pour qui tend vers et pour qui tend vers .

Contre-exemple 3.6.7. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous n’a pas de limite pour qui tend vers et n’a pas de limite pour qui tend vers .

Note : le graphe de cette fonction se répète : on dit qu’elle est périodique.

En effet, peu importe si on considère des nombres de plus en plus grands ou de plus en plus petits, les nombres associées ne finiront jamais par se rapprocher de manière uniforme et définitive d’une valeur unique. Ils continueront d’osciller autour de encore et encore.

Contre-exemple 3.6.8. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous n’a pas de limite pour qui tend vers mais a comme limite pour qui tend vers .

De la même manière qu’on peut parler d’une limite d’une fonction pour qui tend vers ou pour qui tend vers , on peut parler de la divergence vers ou vers pour qui tend vers ou pour qui tend vers . Une fois de plus, introduisons cette nouvelle notion avec un exemple.

Exemple 3.6.9. Nous souhaiterions pouvoir parler du comportement asymptotique de la fonction cubique, dont le graphe est pour rappel le suivant.

Nous aimerions savoir ce que deviennent les nombres au fur et à mesure que nous considérons des de plus en plus grands. Voyons d’abord ce que vaut pour certaines valeurs de particulières qui sont de plus en plus grandes :

Plus généralement, si nous prenons le cube de nombres positifs arbitrairement grands, le résultat sera un nombre positif arbitrairement grand. Au fur à mesure que les abscisses des points du graphes grandissent, les ordonnées deviennent uniformément et définitivement aussi grandes que l’on veut. Nous retrouvons l’idée de divergence : la nouveauté étant que nous observons le comportement de la fonction non pas à l’approche d’un point, mais son comportement pour des nombres de plus en plus grands.

Pour cet exemple, on dit que la fonction cubique diverge vers quand tend vers . On note :

Nous pouvons également étudier le comportement de la fonction cubique pour des nombres de plus en plus petits ! Commençons avec des valeurs particulières pour qui sont de plus en plus petites :

Plus généralement, si nous prenons le cube de nombres négatifs arbitrairement petits, le résultat sera un nombre négatif arbitrairement petit. Au fur à mesure que les abscisses des points du graphes diminuent, les ordonnées associées deviennent uniformément et définitivement aussi petites que l’on veut. Nous retrouvons une fois de plus l’idée de divergence : la nouveauté étant que nous observons le comportement de la fonction non pas à l’approche d’un point, mais son comportement pour des nombres de plus en plus petits.

Pour cet exemple, on dit que la fonction cubique diverge vers quand tend vers . On note :

Donnons les définitions de divergence vers ou vers d’une fonction pour qui tend vers ou vers . Celle-ci est très similaire à la définition de divergence d’une fonction en un point et est construite de la même manière.

Définition 3.6.10. Soit un intervalle non majoré. Soit .

On dit que a diverge vers pour qui tend vers si pour toute borne supérieure , il existe tel que pour tout qui est plus grand ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus grand ou égal à , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Définition 3.6.11. Soit un intervalle non majoré. Soit .

On dit que a diverge vers pour qui tend vers si pour toute borne inférieure , il existe tel que pour tout qui est plus grand ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus petit ou égal à , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Définition 3.6.12. Soit un intervalle non minoré. Soit .

On dit que a diverge vers pour qui tend vers si pour toute borne supérieure , il existe tel que pour tout qui est plus petit ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus grand ou égal à , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Définition 3.6.13. Soit un intervalle non majoré. Soit .

On dit que a diverge vers pour qui tend vers si pour toute borne inférieure , il existe tel que pour tout qui est plus grand ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus petit ou égal à , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Donnons quelques exemples et contre-exemples.

Exemple 3.6.14. La fonction valeur absolue diverge vers pour qui tend vers et diverge ves pour qui tend vers .

Exemple 3.6.15. La fonction racine carrée diverge vers pour qui tend vers . Il ne fait pas sens de parler d’une limite ou de divergence pour qui tend vers pour la racine carrée puisqu’elle n’est pas définie sur l’ensemble des réels strictement négatifs.

Exemple 3.6.16. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous diverge vers pour qui tend vers et diverge vers pour qui tend vers .

Contre-exemple 3.6.17. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous ne diverge pas pour qui tend vers et ne diverge pas pour qui tend vers .

Contre-exemple 3.6.18. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous diverge vers pour qui tend vers mais ne diverge pas pour qui tend vers .

Remarque 3.6.19. Il existe une quantité non négligeable de résultats intéressants portant sur les limites et les divergences de fonctions pour qui tend vers ou vers . Néanmoins, dans ce cours, nous nous contenterons d’utiliser ces notions comme des outils qui permettent de décrire le comportement asymptotique d’une fonction.

Passons aux exercices.

Exercice 3.6.20. (Exercice théorique un peu difficile.)

Les définitions 3.6.3 et 3.6.4 sont très similaires. Identifier la seule petite différence et expliquer celle-ci.

Exercice 3.6.21. Tracer le graphe d’une fonction ayant les propriétés suivantes :

Solution.

Exercice 3.6.22. Déterminer si les fonctions dont les graphes sont donnés ci-dessous ont une limite ou divergent pour qui tend vers ou .

Exercice 3.6.23. Déterminer si les fonctions convergent ou divergent pour qui tend vers ou pour qui tend vers . Si elles convergent, donner la limite. Si elles divergent, donner le type de divergence (vers ou vers ). N’hésitez pas à vous aider d’un graphe.

Exercice 3.6.24. Un homme souhaite changer la teneur en sel de son aquarium pour y accueillir de nouveaux poissons. Alors que son aquarium contient initialement 3 litres d’eau douce, il commence à remplir l’aquarium avec à la fois de l’eau douce et de l’eau salée (avec deux pompes différentes). La pompe d’eau douce a un débit d’un centilitre par seconde, tandis que la pompe d’eau salée a un débit de deux centilitres par seconde.

1. Quel est le rapport de la quantité d’eau douce et de la quantité d’eau salée après une minute de remplissage ?

2. Quel est le rapport de la quantité d’eau douce et de la quantité d’eau salée après secondes de remplissage ? ( étant un nombre réel strictement positif quelconque.)

3. Au fur et à mesure que le temps passe, de quoi se rapproche le rapport de la quantité d’eau douce et de la quantité d’eau salée ?

Exercice 3.6.25. Un avion a une panne de moteur en plein vol à une altitude de km et menace de s’écraser. Le pilote va essayer de faire planer l’avion jusqu’au prochain aréoport, mais il craint que l’avion perde trop d’altitude en planant.

Il se souvient de ses cours d’aviation que dans ce genre de situation, l’avion perd d’abord rapidement beaucoup d’altitude mais se stabilise peu à peu. Il se souvient que dans ce genre de situation, l’altitude de l’avion après heures est de où est l’altitude initiale de l’avion.

De quelle altitude se rapproche de l’avion au fur et à mesure que le temps passe ? Risque-t-il de s’écraser ?