2.5 Sommes de suites

Dans cette section, nous allons découvrir les méthodes et formules pour la somme des premiers termes d’une suite arithmétique ou géométrique donnée, où est un nombre naturel choisi. Mais commençons par l’exemple de l’introduction :

Exemple 2.5.1. Que vaut ?

Bien entendu, nous pourrions commencer à calculer cette somme en additionnant successivement tous les termes. Néanmoins, cette méthode serait quelque peu longue et pénible. Voici une autre méthode : on peut grouper les termes de la sommes deux-à-deux, avec , avec , avec , … , avec . Toutes ces paires donnent et il y a paires. On en déduit que :

Cette simple idée va nous permettre de démontrer la formule pour la somme des () premiers termes d’une suite arithmétique.

Proposition 2.5.2. Soit une suite arithmétique de terme initial et de raison . Choisissons un nombre . Notons la somme des termes de la suite pour les rangs de à de la façon suivante :

Alors on a :

Démonstration Puisque une suite arithmétique de terme initial et de raison , on a pour : . Dès lors :

On peut écrire cette somme dans l’autre sens :

Additionnons les deux égalités précédentes et groupons ensemble le premier terme de la somme du membre de droite de la première égalité avec le premier terme de la somme du membre de droite de la deuxième égalité, le deuxième terme de la somme du membre de droite de la première égalité avec le deuxième terme de la somme du membre de droite de la deuxième égalité, le troisième terme de la somme du membre de droite de la première égalité avec le troisième terme de la somme du membre de droite de la deuxième égalité et ainsi de suite :

On observe que tous ces rassemblements donnent le même résultat : . Ces rassemblements sont au nombre de , on a donc :

Conclusion :

Nous avons une proposition similaire pour les suites géométriques :

Proposition 2.5.3. Soit une suite géométrique de terme initial et de raison . Choisissons un nombre . On a :

Démonstration Puisque une suite géométrique de terme initial et de raison , on a pour : . Dès lors :

On peut multiplier cette égalité par :

Soustrayons la deuxième égalité à la première en groupant ensemble le deuxième terme de la somme du membre de droite de la première égalité avec le premier terme de la somme du membre de droite de la deuxième égalité, le troisième terme de la somme du membre de droite de la première égalité avec le deuxième terme de la somme du membre de droite de la deuxième égalité, le quatrième terme de la somme du membre de droite de la première égalité avec le troisième terme de la somme du membre de droite de la deuxième égalité et ainsi de suite :

On observe que tous ces rassemblements donnent le même résultat : . On a donc :

Puisque , on conclut :

Remarque 2.5.4. Si on souhaite calculer la somme des termes d’une suite arithmétique ou géométrique non pas à partir de mais à partir d’un autre nombre naturel choisi, disons , il est possible de s’en sortir facilement grâce aux formules des propositions [sommeari] et [sommegéo] puisque pour une suite , on a :

Exercice 2.5.5.

Exercice 2.5.6.

Exercice 2.5.7.

Exercice 2.5.8.