5 Conclusion : retour sur les problèmes de l’introduction (optionnel)

Finalement, rassemblons tout ce que nous avons appris dans ce chapitre pour résoudre certains des problèmes de l’introduction.

5.1 Paradoxe de la flèche : la solution

Selon Zénon, la distance que doit parcourir la flèche pour atteindre la cible, ne peut qu’être infinie car correspondant à une somme d’une infinité de distances/de termes strictement positifs. Cela contredit l’intuition géométrique et l’expérience physique, d’où le paradoxe.

Heureusement, nous sommes à présent capables d’exprimer clairement le sens de l’expression : on peut en effet la voir comme la limite d’une suite consistant en les sommes finies des premiers termes d’une suite géométrique de terme initial et de raison :

De plus, nous avons à présent une formule pour calculer ces sommes finies :

Et nous sommes donc en mesure de calculer notre limite :

Contrairement à ce que Zénon pensait, la suite ne diverge pas vers mais converge bien vers ! Cela rejoint l’intuition géométrique et l’expérience physique : le paradoxe est donc résolu.

5.2 0,999… < 1 ou 0,999… = 1 ?

Nous allons à présent pouvoir trancher : a-t-on ou ?

À nouveau, les expriment la présence d’une limite dissimulée. En fait, lorsqu’on écrit , on écrit de façon raccourcie la limite suivante :

(Le fait que les correspondent à une limite n’est pas révélé en primaire ou en début de secondaire pour des raisons évidentes.)

Puisque nous sommes à présent d’exprimer clairement le nombre , nous devrions être également capables de démontrer si ce nombre est strictement plus petit que ou égal à :

Ce qui clôt la discussion.

Exercice 5.2.1. On vous affirme depuis longtemps que . En écrivant correctement sous la forme d’une limite, démontrez-le.

Solution | |

Exercice 5.2.2.

Exercice 5.2.3.

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Nous les retrouverons avec un autre point de vue dans le prochain chapitre.