Cours de mathématiques de cinquième année
4 périodes/semaine
Fonctions continues et
limites de fonctions
Lycée Martin V
1 Introduction¶
Ce chapitre est probablement le plus difficile de ce cours, au moins
sur le plan conceptuel. Nous allons y introduire la notion de fonction
continue, mais surtout de limite (de fonction). Cette notion de limite
et les idées sous-jacentes à sa définition sont les idées
fondamentales qui ont mené à la naissance de l’analyse mathématique
moderne. Leur portée est immense et de nombreux futurs chapitres du
cours de mathématiques de cinquième année et de sixième année
secondaire utiliseront d’ailleurs directement ou indirectement ce que
nous allons construire dans ce chapitre.
Pour cette raison, il est indispensable de maîtriser la matière de ce
chapitre au terme de celui-ci, sans quoi la compréhension de ce qui
suivra sera rendue difficile, sinon impossible.
Étant donné la difficulté conceptuelle de la notion de limite et
l’optique que le programme lui réserve dans le cours de mathématiques
du secondaire, nous avons choisi de la faire apparaître par
l’intermédiare des fonctions continues plutôt que par les limites de
suites. Par expérience, cette dernière approche à l’énorme défaut que
les élèves semblent avoir énormément de mal à généraliser rapidement
l’idée de limite de suite pour arriver à l’idée de limite de fonction.
Néanmoins, la partie optionnelle du chapitre précédent contient tout
de même une telle approche et il est grandement conseillé de lire
celle-ci dans le courant du début de ce chapitre sur les fonctions
continues et les limites de fonctions.
Si le sujet des fonctions continues peut être amené de façon
relativement intuitive et introduit à l’aide d’un problème (et de sa
solution) assez amusant et intéressant, le sujet des limites de
fonctions devra être découvert au moins dans un premier temps de façon
purement technique. Pas d’inquiétude néanmoins : nous découvrirons dès
le prochain chapitre des exemples concrets d’application de cette
notion.
Enfin, il est vivement conseillé de maîtriser parfaitement l’ensemble
de la matière vue jusqu’à présent portant sur les fonctions. Il serait
extrêmement dommageable que la compréhension de ce chapitre soit
rendue encore plus difficile par un manque de maîtrise des prérequis.