2 Fonctions continues

2.1 Définition et exemples

L’idée de continuité est déjà présente dans le langage courant. Par exemple, on dira que la température d’une pièce (qui n’est chauffée que durant la journée) évolue de façon continue au cours du temps. Sa température est plus basse durant la nuit que durant la journée, mais elle ne passe subitement d’une température basse à une température élevée : la température évolue progressivement et continuement.

On peut donner de nombreux autres exemples de phénomènes continus : les déplacements, la vitesse, l’accélération, le son… En fait, la supposition que tous les phénomènes naturels sont continus est souvent une supposition implicite de notre vie de tous les jours et de la physique classique. Puisque nous avons le réflexe intuitif de formaliser tous ces phénomènes de la nature sous la forme de processus continus, il est pertinent de s’intéresser à cette formalisation que sont les fonctions continues.

De plus, les fonctions continues ont un intérêt mathématique non négligeable et nous permettront d’introduire l’idée de limite de fonction.

Définition 2.1.1. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit .

On dit que est une fonction continue en si et seulement si pour tout , il existe tel que pour tout tel que , on a .

Remarque 2.1.2. Cette définition, assez technique, ne doit pas vous faire peur. Une lecture intuitive de cette définition est la suivante : si un processus qui dépend d’une variable est continu autour d’une certaine valeur de qui vaut , alors je dois pouvoir approcher les valeurs de autant que je le souhaite si je suis capable d’approcher la valeur de autant que nécessaire. Il est recommandé d’appliquer cette définition sur les deux exemples suivants afin d’analyser celle-ci en profondeur et comprendre en quoi elle formalise l’idée intutive de continuité.

Exemple 2.1.3.

Voici le graphe d’une fonction continue en définie sur . En effet, quelle que soit l’erreur maximale autorisée , quitte à sélectionner des valeurs pour assez proche de (à une distance de d’au plus ), les valeurs approcheront bien la valeur avec une erreur plus petite ou égale à .

Géométriquement, cela correspond au fait qu’il n’y a pas de saut vertical en et que le graphe peut être réalisé d’un seul trait.

Exemple 2.1.4.

Voici le graphe d’une fonction discontinue en définie sur . En effet, en prenant comme erreur maximale autorisée , il est impossible de trouver un tel qu’à toutes les valeurs de possibles à une distance au plus de , la fonction associera un nombre dont la distance avec est plus petite que . La raison étant que juste à gauche de , la fonction prend des valeurs strictement négative alors que .

Géométriquement, cela correspond au fait qu’il y a un saut vertical en et que le graphe ne peut pas être réalisé d’un seul trait.

Remarque 2.1.5. Une caractérisation intuitive des graphes de fonctions continues est qu’il s’agit des fonctions dont le graphe peut être tracé d’un seul trait. Néanmoins, celle-ci est imprécise et peut mener à des erreurs, puisque la continuité ne concerne que les sauts dans les valeurs d’une fonction (autrement dit : les sauts verticaux dans le graphe de la fonction) et non son domaine de définition (les sauts horizontaux dans le graphe de la fonction). Permettons-nous d’insister : il ne fait pas sens de parler de continuité d’une fonction en un point où elle n’est pas définie ! Par exemple, la fonction inverse :

Cette fonction est bien partout continue ! Il ne fait pas sens d’affirmer qu’elle est discontinue en , puisqu’elle n’est même pas définie en .

Définition 2.1.6. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit .

On dit que est une fonction continue si elle est continue en tous les points de son domaine de définition.

Exercice 2.1.7. Donner le domaine de définition des fonctions dont les graphes sont les suivants, puis déterminer si elles sont continues ou non. Si elles ne sont pas continues, donner l’ensemble des points où elles sont discontinues.