2.3 Propriétés des fonctions continues

Commençons avec un exemple :

Exemple 2.3.1. Considérons les deux fonctions :

et

dont les graphes sont les suivants :

Ces deux fonctions sont continues : leurs graphes peuvent être tracés d’un seul trait, il n’y a pas de saut vertical.

Que se passe-t-il si on additionne ces deux fonctions, autrement dit si on considère la fonction ? Au niveau des graphes, cela revient à additionner les ordonnées des points des graphes de et qui ont la même abscisse.

Sans surprise, aucune discontinuité n’est apparue. En additionnant deux fonctions continues, on a obtenu une nouvelle fonction continue. Ce n’est pas un hasard, comme l’indique la proposition suivante.

Proposition 2.3.2. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point. Soient et deux fonctions continues. Alors :

1. La fonction est continue.

2. La fonction est continue.

3. La fonction est continue.

4. La fonction est continue.

Démonstration Pas en math 4. Voir annexe pour les curieux.

De manière éventuellement plus surprenante, la composée de deux fonctions continues (compatibles) est également toujours une fonction continue :

Proposition 2.3.3. Soit deux intervalles. Soient et deux fonctions continues telle que . Alors : est continue.

Démonstration Pas en math 4.

Une dernière opération qui conserve la continuité est la restriction :

Définition 2.3.4. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit . Soit . Alors la restriction de sur est la fonction :

Exemple 2.3.5. Soit la fonction :

dont le graphe est :

La restriction de sur, par exemple, , est la fonction :

et son graphe est :

Comme annoncé, la restriction d’une fonction continue est toujours continue :

Proposition 2.3.6. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit une fonction continue. Soit . Alors la restriction de sur est continue.

Démonstration Pas en math 4. Notons néanmoins que la démonstration est extrêment simple.

Grâce au théorème 2.2.1, nous savons que toutes les fonctions de référence sont continues. Or, les propositions 2.3.2, 2.3.3 et 2.3.6 nous disent que lorsqu’on combine deux fonctions continues selon une des opérations sur les fonctions les plus simples, nous pouvons être certains que le résultat est lui aussi une fonction continue. Ainsi, nous sommes à présent capables de justifier la continuité de nombreuses fonctions.

Exercice 2.3.7. Les fonctions suivantes sont-elles continues ? Si oui, justifier. Si non, faire le graphe de la fonction et donner l’ensemble des points de discontinuité.