2.4 Grands théorèmes des fonctions continues (optionnel)¶

Dans cette section, nous allons lister les grands résultats associés aux fonctions continues.

Le premier est assez intuitif. Pour reprendre l’exemple de l’introduction de la température dans une pièce, si on suppose que la température de la pièce était de $\text{[math]}$ à minuit et qu’elle est de $\text{[math]}$ à midi et qu’on choisit une température en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , par exemple $\text{[math]}$ , on est intuitivement convaincu qu’il y a eu au moins un court instant dans la matinée où la température de la pièce était de $\text{[math]}$ (puisque le phénomène est continu, on doit bien passer par toutes les valeurs intermédiaires entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour passer de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ ). Cette intuition est formalisée par le théorème suivant :

Théorème 2.4.1 (Théorème des valeurs intermédiaires). Soit $\text{[math]}$ un intervalle de la forme $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ une fonction continue. Pour tout $\text{[math]}$ compris entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

Démonstration Pas en math 4. 2

Exemple 2.4.2. Considérons la fonction suivante qui est la restriction de la fonction carrée sur $\text{[math]}$ .

Puisque cette fonction est continue, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on peut être certain qu’il existe une abscisse $\text{[math]}$ entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ telle que la valeur de cette fonction en $\text{[math]}$ vaut exactement $\text{[math]}$ (dans ce cas-ci, il est possible de déterminer ce $\text{[math]}$ (qui est ici unique) : $\text{[math]}$ ).

Remarque 2.4.3. Le théorème n’affirme pas que l’abscisse $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ est unique ! Comme le montre l’exemple suivant (où on choisit pour $\text{[math]}$ l’ordonnée $\text{[math]}$ , qui se trouve entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ), il peut y avoir plusieurs abscisses de cette sorte :

La fonction vaut $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ , en $\text{[math]}$ et en $\text{[math]}$ .

Le théorème des valeurs intermédiaires a de nombreuses applications et pas seulement des applications purement théoriques. Il permet par exemple de justifier la validité d’une solution à un problème relativement courant dans la vie de tous les jours : une table bancale.

Nous renvoyons vers cette vidéo de l’excellente chaîne youtube Numberphile de vulgarisation mathématique pour plus de détails à ce sujet : https://www.youtube.com/watch?v=OuF-WB7mD6k. À présent, donnons l’autre fameux théorème concernant les fonctions continues :

Théorème 2.4.4. Soit $\text{[math]}$ un intervalle de la forme $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ une fonction continue. $\text{[math]}$ est nécessairement bornée et atteint ses bornes, autrement dit $\text{[math]}$ a un point de minimum et un point de maximum.

Démonstration Pas en math 4. 3

Remarque 2.4.5. Dans le prochain chapitre, nous nous intéresserons beaucoup aux (points de) minimum et maximum d’une fonction. Ce théorème des bornes atteintes nous dit que pour une fonction continue définie sur un intervalle fermé, nous pouvons être certain qu’un point de minimum et qu’un point de maximum existe, mais il ne nous dit pas comment les trouver.

Remarque 2.4.6. La fonction dont le graphe est ci-dessous est définie sur un intervalle de la forme $\text{[math]}$ et est continue :

Il s’agit de la fonction :

Nous serions bien incapables (à ce stade) de déterminer quel est le (point de) maximum et le (point de) minimum de cette fonction, mais nous sommes certains que ceux-ci existent bel et bien (visuellement, on les identifie immédiatement sans pour autant être capable de les déterminer exactement).

2: La démonstration de ce théorème est en fait assez compliquée et nécessite de bien comprendre les propriétés fondamentales des nombres réels. Heureusement, son énoncé est très intuitif.
3: La démonstration de ce théorème est aussi assez compliquée.