2.5 Prolongements continus¶
Exemple 2.5.1. Voici le graphe d’une fonction définie sur qui est continue :
Il ne fait pas sens de dire qu’elle est discontinue (ou continue) en puisqu’elle n’est pas définie en .
Exemple 2.5.2. Voici le graphe d’une autre fonction définie sur qui est continue :
Il ne fait pas sens de dire qu’elle est continue (ou discontinue) en puisqu’elle n’est pas définie en .
Définition 2.5.3. Soit un intervalle et soit . Soit .
Un prolongement continu de sur est une fonction qui est continue (y compris en ) et telle que pour tout , on a .
Exemple 2.5.4. La fonction de l’exemple 2.5.1 ne possède pas de prolongement continu. Par contre, la fonction de l’exemple 2.5.2 possède un prolongement continu dont le graphe est le suivant :
Dans le cas de cet exemple, puisque nous possédions déjà le graphe de la fonction, ce prolongement continu n’était pas très difficile à trouver.
Que signifie rigoureusement que la fonction se rapproche d’une valeur lorsqu’on se rapproche de ?
Comment savoir si la fonction se rapproche bien d’une certaine valeur de manière uniforme et définitive lorsqu’on se rapproche de ?
Si se rapproche bien d’une certaine valeur de manière uniforme et définitive lorsqu’on se rapproche de , comment calculer cette valeur ?
Pour répondre à ces questions, nous avons besoin d’une nouvelle notion : celle de limite de fonction.
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Remarque : pour la plupart des fonctions de référence, la démonstration n’est pas très compliquée. N’hésitez pas à essayer de faire vous-même la preuve par exemple pour une fonction constante ou pour la fonction identité.
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La démonstration de ce théorème est en fait assez compliquée et nécessite de bien comprendre les propriétés fondamentales des nombres réels. Heureusement, son énoncé est très intuitif.
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La démonstration de ce théorème est aussi assez compliquée.