3 Limites de fonctions

3.1 Définition et exemples

Pour découvrir la notion de limite qui est la formalisation de l’idée intuitive se rapprocher de (de façon définitive et uniforme) , commençons avec un exemple :

Définition 3.1.1. Soit la fonction

Son graphe est le suivant :

Au fur et à mesure que la variable se rapproche de , de quelle valeur se rapproche ? Pour nous aider à y voir plus clair, évaluons la fonction en plusieurs nombres qui se rapprochent de :


Plus la variable se rapproche de , plus se rapproche de et ce de manière uniforme et définitive : non seulement on se rapproche de cette valeur aussi bien par la droite que par la gauche , mais ce rapprochement se fait autant que possible (sans pour autant que la fonction ne prenne jamais la valeur ) : les valeurs de se rapprochent autant qu’on le souhaite de la valeur à condition que les valeurs de soient assez proches de .
Pour préciser cette idée intuitive, on peut se donner un petit test pour vérifier si la fonction se rapproche bien de quand les se rapprochent de : si on se fixe une certaine marge d’erreur autour de (par exemple une marge d’erreur de ), les valeurs de la fonction ne s’éloignent pas de d’une distance supérieure à l’erreur fixée à condition que les choisis soient assez proches de (avec une marge d’erreur de , les disponibles sont ceux ne s’éloignant pas de de plus de ). Si la fonction se rapproche bien de quand les se rapprochent de , alors ce test devrait fonctionner quel que soit la marge d’erreur (non nulle) qu’on s’est donnée, même si celle-ci est extrêmement petite. Cette idée relativement naturelle mais complexe est en fait la définition rigoureuse de la notion de limite.

Définition 3.1.2. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

On dit que a une limite en si pour toute marge d’erreur , il existe tel que pour tout qui est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :


Exemple 3.1.3. La fonction

a comme limite en . On note :

Remarque 3.1.4. Notons que dans l’exemple ci-dessus, la fonction possède une limite en qui vaut mais est également définie en de telle sorte que . Il est important de comprendre qu’une limite d’une fonction en un point (si elle existe) n’est pas toujours égale à la valeur de la fonction en ce point (la fonction peut même ne pas être définie en ce point). C’est d’ailleurs tout l’intérêt de la notion de limite : elle permet de parler d’une valeur de laquelle se rapproche une fonction en un point sans que cette fonction ne soit jamais égale à cette valeur.


Voici à présent un théorème important mais que nous ne pourrons malheureusement pas démontrer :

Théorème 3.1.5. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit . Si possède une limite en , alors cette limite est unique.

Il fait donc sens de parler de LA limite d’une fonction en un point. Ce théorème ne devrait pas vous surprendre : si on se rapproche de manière uniforme et définitive d’un endroit, on ne peut pas en même temps se rapprocher de manière uniforme et définitive d’un autre endroit.

Donnons à présent quelques exemples de limites de fonction pour visualiser cette nouvelle notion.

Exemple 3.1.6. Soit la fonction carrée, dont le graphe est :

Cette fonction possède une limite en et cette limite vaut : .
Pour cette fonction, notons qu’on a .

Exemple 3.1.7. Soit la fonction dont le graphe est :

Cette fonction ne possède pas de limite en : quand les se rapprochent de , les ne se rapprochent pas uniformément d’un unique nombre (ils se rapproche de par la gauche et de par la droite ).

Exemple 3.1.8. Soit la fonction dont le graphe est :

La fonction n’est pas définie en mais elle possède néanmoins une limite en : quand les se rapprochent de , les se rapprochent uniformément et définitivement de . On note :


Définition 3.1.9. Soit la fonction dont le graphe est :

La fonction n’est pas définie en mais elle possède néanmoins une limite en : quand les se rapprochent de , les se rapprochent uniformément et définitivement de . On note :


Exercice 3.1.10. À l’aide d’un graphique, déterminer si les limites suivantes existent. Si oui, donner les valeurs de celles-ci.


Exercice 3.1.11. Voici le graphe de la fonction . Déterminer si les limites suivantes existent. Si oui, donner les valeurs de celles-ci.


Exercice 3.1.12. Tracer le graphe d’une fonction définie sur qui n’a pas de limite en et qui a une limite en qui vaut .

Solution.


Exercice 3.1.13. Déterminer si les limites suivantes si elles existent.


Exercice 3.1.14. Tracer le graphe d’une fonction ayant les propriétés suivantes :

  1. dom

  2. est continue partout sauf en .

  3. n’a pas de limite en et en

  4. a une limite en qui vaut et une limite en qui vaut

  5. et

  6. a exactement deux racines et elles se trouvent entre et .

Solution.